On rappelle que E∗ désigne l'espace dual d'un K-espace vectoriel E, c'est-à-dire l'espace vectoriel des formes linéaires sur E. Autrement dit, E∗=L(E,K).
Théorème—Représentation des formes linéaires
L'application {Ea⟶E∗⟼(x∈E↦⟨a,x⟩) est un isomorphisme.
Démonstration bientôt disponible
Remarque
Ceci signifie en particulier que pour toute forme linéaire φ∈E∗, il existe un unique vecteur a∈E tel que ∀x∈E,φ(x)=⟨a,x⟩.
Définition—Adjoint
Soit u∈L(E). Il existe un unique u∗∈L(E) tel que ∀(x,y)∈E2,⟨u(x),y⟩=⟨x,u∗(y)⟩ Cet endomorphisme u∗ s'appelle l'adjoint de u.
Méthode—Déterminer un adjoint
Soit (u,v)∈L(E)2. Alors v=u∗ si et seulement si ∀(x,y)∈E2,⟨u(x),y⟩=⟨x,v(y)⟩
Exemple
IdE∗=IdE. En effet, pour tout (x,y)∈E2, ⟨IdE(x),y⟩=⟨x,y⟩=⟨x,IdE(y)⟩
Application
Soit u∈L(E). Montrer que u=0⟺u∗∘u=0.
Correction bientôt disponible
Proposition—Propriétés de l'adjonction
Linéarité L'application {L(E)u⟶L(E)⟼u∗ est linéaire.
Involutivité Pour tout u∈L(E), (u∗)∗=u.
Adjoint d'une composée Pour tout (u,v)∈L(E)2, (u∘v)∗=v∗∘u∗.
Adjoint d'un inverse Si u∈GL(E), alors u∗∈GL(E) et (u−1)∗=(u∗)−1.
Démonstration bientôt disponible
Remarque
La linéarité et l'involutivité montrent que l'application {L(E)u⟶L(E)⟼u∗ est donc une symétrie vectorielle.
Application
Soit u un endomorphisme d'un espace euclidien E. 1. Montrer que keru∗=(Im u)⊥ et que Im u∗=(keru)⊥. 2. En déduire que rg(u)=rg(u∗).
Correction bientôt disponible
Application
Soit u un endomorphisme d'un espace euclidien E. Montrer que l'adjonction induit un automorphisme de l'algèbre R[u].
Correction bientôt disponible
Proposition—Matrice de l'adjoint dans une base orthonormée
Soit u∈L(E) et B une base orthonormée de E. Alors matB(u∗)=matB(u)⊤.
Démonstration bientôt disponible
Remarque
Comme la trace, le rang, le déterminant, le polynôme caractéristique et le polynôme minimal sont invariants par transposition, ils sont aussi invariants par adjonction.
Application
Soit E un espace euclidien. Montrer que (f,g)∈L(E)2↦tr(f∗∘g) est un produit scalaire sur L(E).
Correction bientôt disponible
Proposition—Adjoint et stabilité
Si F est un sous-espace vectoriel de E stable par u∈L(E), alors F⊥ est stable par u∗.
Démonstration bientôt disponible
2Projecteurs orthogonaux et symétries orthogonales3Matrices orthogonales et isométries vectorielles4Réduction des isométries5Endomorphismes auto-adjoints et matrices symétriques
TunnelDéterminer l'adjoint d'un endomorphismeTunnelDémontrer qu'une matrice est orthogonaleTunnelDémontrer qu'un endomorphisme est une isométrie vectorielleTunnelDiagonaliser une matrice symétrique dans une base orthonormaleRéflexeProblème de calcul de normes et endomorphismes symétriquesTunnelDémontrer qu'une matrice symétrique est (définie) positive
Cours
1Adjoint d'un endomorphisme
2Projecteurs orthogonaux et symétries orthogonales
3Matrices orthogonales et isométries vectorielles
4Réduction des isométries
5Endomorphismes auto-adjoints et matrices symétriques
