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Equations différentielles linéaires | The Maths Tailor

Explorer AnalyseEquations différentielles linéaires

Equations différentielles linéaires

SPE

Thème : Analyse

← Exercices & Méthodes

Sommaire

1.Généralités

1.0Introduction 1.1Définitions

2.Solutions d'une équation différentielle linéaire

2.0Préambule 2.1Théorème de Cauchy linéaire 2.2Equations différentielles homogènes 2.3Equations différentielles avec second membre

3.Exponentielle d'un endomorphisme ou d'une matrice

3.1Définition 3.2Exponentielle et réduction 3.3Régularité de l'exponentielle 3.4Exponentielle d'une somme

4.Systèmes différentiels linéaires homogènes à coefficients constants

4.0Introduction 4.1Exemples

5.Variation des constantes (hors programme)

5.0Introduction 5.1Wronskien 5.2Variation des constantes

6.Equations différentielles linéaires scalaires

6.1Equations différentielles linéaires scalaires résolues 6.2Equations différentielles linéaires scalaires non résolues 6.3Cas des équations différentielles linéaires scalaires d'ordre 2

1. Généralités

1.0. Introduction

Encadré

Dans ce chapitre,

I

désigne un intervalle de

\mathbb{R}

et

E

un

\mathbb{K}

-espace vectoriel normé de dimension finie (

\mathbb{K}=\mathbb{R}

ou

\mathbb{K}=\mathbb{C}

).

1.1. Définitions

Définition—Equation différentielle linéaire

On appelle équation différentielle linéaire une équation de la forme

x' = a(t)(x) + b(t)

où

$a: I \to \mathcal{L}(E)$ est continue;
$b: I \to E$ est continue;
$x: I \to E$ est une fonction inconnue de classe $\mathcal{C}^1$ .

2. Solutions d'une équation différentielle linéaire

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3. Exponentielle d'un endomorphisme ou d'une matrice

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4. Systèmes différentiels linéaires homogènes à coefficients constants

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5. Variation des constantes (hors programme)

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6. Equations différentielles linéaires scalaires

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Encadré—Ecriture matricielle d'une équation différentielle linéaire

Si

\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n)

est une base de

E

, alors en notant

$A(t) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ la matrice de $a(t)$ dans la base $\mathcal{B}$ ;
$B(t) \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ la matrice de $b(t)$ dans la base $\mathcal{B}$ ;
$X(t) \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ la matrice de $x(t)$ dans la base $\mathcal{B}$ ;

l'équation différentielle

x' = a(t)(x) + b(t)

équivaut à

X' = A(t)X + B(t)

Définition—Equation différentielle linéaire homogène

L'équation différentielle homogène associée à l'équation différentielle linéaire

x' = a(t)(x) + b(t)

est

x' = a(t)(x)

Proposition—Principe de superposition

Si

x_1

et

x_2

sont des solutions respectives des équations différentielles linéaires

x' = a(t)(x) + b_1(t)

et

x' = a(t)(x) + b_2(t)

alors pour tout

(\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^2

,

\lambda x_1 + \mu x_2

est solution de l'équation différentielle linéaire

x' = a(t)(x) + (\lambda b_1(t) + \mu b_2(t))

Démonstration bientôt disponible

Définition—Problème de Cauchy

On appelle problème de Cauchy une équation différentielle linéaire assortie d'une condition initiale :

\begin{cases} x' = a(t)(x) + b(t) \\ x(t_0) = x_0 \end{cases}

avec

t_0 \in I

et

x_0 \in E

.

Remarque

Trouver une solution

x

du problème de Cauchy précédent équivaut à déterminer une application

x

continue sur

I

vérifiant

\forall t \in I, x(t) = x(t_0) + \int_{t_0}^t (a(s)(x(s)) + b(s)) \, ds