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Equations différentielles linéaires | The Maths Tailor
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Equations différentielles linéaires
Equations différentielles linéaires
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Cours
— 6 sections
1
Généralités
1. Généralités
1.0. Introduction
Encadré
Dans ce chapitre,
I
I
I
désigne un intervalle de
R
\mathbb{R}
R
et
E
E
E
un
K
\mathbb{K}
K
-espace vectoriel normé de dimension finie (
K
=
R
\mathbb{K}=\mathbb{R}
K
=
R
ou
K
=
C
\mathbb{K}=\mathbb{C}
K
=
C
).
1.1. Définitions
Définition
—
Equation différentielle linéaire
On appelle
équation différentielle linéaire
une équation de la forme
x
′
=
a
(
t
)
(
x
)
+
b
(
t
)
x' = a(t)(x) + b(t)
x
′
=
a
(
t
)
(
x
)
+
b
(
t
)
où
a
:
I
→
L
(
E
)
a: I \to \mathcal{L}(E)
a
:
I
→
L
(
E
)
est continue;
b
:
I
→
E
b: I \to E
b
:
I
→
E
est continue;
x
:
I
→
E
x: I \to E
x
:
I
→
E
est une fonction inconnue de classe
C
1
\mathcal{C}^1
C
1
.
Encadré
—
Ecriture matricielle d'une équation différentielle linéaire
Si
B
=
(
e
1
,
…
,
e
n
)
\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n)
B
=
(
e
1
,
…
,
e
n
)
est une base de
E
E
E
, alors en notant
A
(
t
)
∈
M
n
(
R
)
A(t) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})
A
(
t
)
∈
M
n
(
R
)
la matrice de
a
(
t
)
a(t)
a
(
t
)
dans la base
B
\mathcal{B}
B
;
B
(
t
)
∈
M
n
,
1
(
R
)
B(t) \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})
B
(
t
)
∈
M
n
,
1
(
R
)
la matrice de
b
(
t
)
b(t)
b
(
t
)
dans la base
B
\mathcal{B}
B
;
X
(
t
)
∈
M
n
,
1
(
R
)
X(t) \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})
X
(
t
)
∈
M
n
,
1
(
R
)
la matrice de
x
(
t
)
x(t)
x
(
t
)
dans la base
B
\mathcal{B}
B
;
l'équation différentielle
x
′
=
a
(
t
)
(
x
)
+
b
(
t
)
x' = a(t)(x) + b(t)
x
′
=
a
(
t
)
(
x
)
+
b
(
t
)
équivaut à
X
′
=
A
(
t
)
X
+
B
(
t
)
X' = A(t)X + B(t)
X
′
=
A
(
t
)
X
+
B
(
t
)
Définition
—
Equation différentielle linéaire homogène
L'
équation différentielle homogène associée
à l'équation différentielle linéaire
x
′
=
a
(
t
)
(
x
)
+
b
(
t
)
x' = a(t)(x) + b(t)
x
′
=
a
(
t
)
(
x
)
+
b
(
t
)
est
x
′
=
a
(
t
)
(
x
)
x' = a(t)(x)
x
′
=
a
(
t
)
(
x
)
Proposition
—
Principe de superposition
Si
x
1
x_1
x
1
et
x
2
x_2
x
2
sont des solutions respectives des équations différentielles linéaires
x
′
=
a
(
t
)
(
x
)
+
b
1
(
t
)
x' = a(t)(x) + b_1(t)
x
′
=
a
(
t
)
(
x
)
+
b
1
(
t
)
et
x
′
=
a
(
t
)
(
x
)
+
b
2
(
t
)
x' = a(t)(x) + b_2(t)
x
′
=
a
(
t
)
(
x
)
+
b
2
(
t
)
alors pour tout
(
λ
,
μ
)
∈
K
2
(\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^2
(
λ
,
μ
)
∈
K
2
,
λ
x
1
+
μ
x
2
\lambda x_1 + \mu x_2
λ
x
1
+
μ
x
2
est solution de l'équation différentielle linéaire
x
′
=
a
(
t
)
(
x
)
+
(
λ
b
1
(
t
)
+
μ
b
2
(
t
)
)
x' = a(t)(x) + (\lambda b_1(t) + \mu b_2(t))
x
′
=
a
(
t
)
(
x
)
+
(
λ
b
1
(
t
)
+
μ
b
2
(
t
))
Démonstration bientôt disponible
Définition
—
Problème de Cauchy
On appelle
problème de Cauchy
une équation différentielle linéaire assortie d'une condition initiale :
{
x
′
=
a
(
t
)
(
x
)
+
b
(
t
)
x
(
t
0
)
=
x
0
\begin{cases} x' = a(t)(x) + b(t) \\ x(t_0) = x_0 \end{cases}
{
x
′
=
a
(
t
)
(
x
)
+
b
(
t
)
x
(
t
0
)
=
x
0
avec
t
0
∈
I
t_0 \in I
t
0
∈
I
et
x
0
∈
E
x_0 \in E
x
0
∈
E
.
Remarque
Trouver une solution
x
x
x
du problème de Cauchy précédent équivaut à déterminer une application
x
x
x
continue sur
I
I
I
vérifiant
∀
t
∈
I
,
x
(
t
)
=
x
(
t
0
)
+
∫
t
0
t
(
a
(
s
)
(
x
(
s
)
)
+
b
(
s
)
)
d
s
\forall t \in I, x(t) = x(t_0) + \int_{t_0}^t (a(s)(x(s)) + b(s)) \, ds
∀
t
∈
I
,
x
(
t
)
=
x
(
t
0
)
+
∫
t
0
t
(
a
(
s
)
(
x
(
s
))
+
b
(
s
))
d
s
2
Solutions d'une équation différentielle linéaire
3
Exponentielle d'un endomorphisme ou d'une matrice
4
Systèmes différentiels linéaires homogènes à coefficients constants
5
Variation des constantes (hors programme)
6
Equations différentielles linéaires scalaires
Tunnel
Resolution d'une equation differentielle lineaire d'ordre 1
Tunnel
Resolution d'une equation differentielle lineaire d'ordre 2 a coefficients constants
MC
Probleme du raccordement des solutions
Tunnel
Resolution des systemes homogenes a coefficients constants
Tunnel
Resolution des systemes a coefficients constants avec second membre
MC
Resolution d'une equation du second ordre par la methode d'abaissement de l'ordre
Cours
1
Généralités
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