Soit a, b, c des réels avec a=0 et z un nombre complexe.
On appelle discriminant du trinôme az2+bz+c le nombre réel :Δ=b2−4ac
Théorème—Résolution dans ℂ
L'équation az2+bz+c=0 (avec a=0, a,b,c∈R) :
- Si Δ>0 : deux solutions réelles distinctes :z1=2a−b+Δz2=2a−b−Δ- Si Δ=0 : une unique solution réelle :z0=−2ab- Si Δ<0 : deux solutions complexes conjuguées :z1=2a−b+i−Δz2=2a−b−i−ΔDémonstration : On met le trinôme sous forme canonique :az2+bz+c=a(z+2ab)2−4aΔ- Si Δ<0 : (z+2ab)2=4a2Δ=−4a2−Δ=i2⋅4a2−Δ, d'où les deux solutions complexes.
Proposition—Somme et produit des racines
La somme S et le produit P des racines de az2+bz+c sont :S=−abP=acExemple : Les racines de z2+5=0 sont i5 et −i5. S=i5−i5=0=−10 et P=i5×(−i5)=5=15. ✓
Méthode—Résoudre une équation du second degré dans ℂ
Exemple a)z2+5=0z2=−5=5i2⟹z=i5 ou z=−i5Exemple b)z2+3z+4=0
