Familles sommables

Soit $\phi$ une permutation de $J$ et $K\in {\mathcal{P}}_f(J)$. Alors ${\phi }^{-1}(K)\in {\mathcal{P}}_f(J)$ et$$\sum _{j\in K}{u}_{\phi (j)}=\sum _{j\in {\phi }^{-1}(K)}{u}_j$$puisque $\phi$ réalise une bijection de ${\phi }^{-1}(K)$ sur $K$. En passant au supremum sur toutes les parties finies $K$ de $J$, et en remarquant que $\{{\phi }^{-1}(K),K\in {\mathcal{P}}_f(J)\}={\mathcal{P}}_f(J)$ (car $\phi$ est une bijection de $J$ dans $J$), on obtient d'après la Définition 1.1 :$$\sum _{j\in J}{u}_{\phi (j)}=\underset{K\in {\mathcal{P}}_f(J)}{\sup }\sum _{j\in K}{u}_{\phi (j)}=\underset{K\in {\mathcal{P}}_f(J)}{\sup }\sum _{j\in {\phi }^{-1}(K)}{u}_j=\underset{L\in {\mathcal{P}}_f(J)}{\sup }\sum _{j\in L}{u}_j=\sum _{j\in J}{u}_j$$

Montrons les deux points séparément.

Somme. Soit $K\in {\mathcal{P}}_f(J)$. Par additivité de la somme finie,$$\sum _{j\in K}(u_j+v_j)=\sum _{j\in K}{u}_j+\sum _{j\in K}{v}_j\le \sum _{j\in J}{u}_j+\sum _{j\in J}{v}_j$$d'après la Définition 1.1 (chaque somme finie est majorée par le supremum). En passant au supremum sur $K$, on obtient $\sum _{j\in J}(u_j+v_j)\le \sum _{j\in J}{u}_j+\sum _{j\in J}{v}_j$.

Réciproquement, soient $K_1,K_2\in {\mathcal{P}}_f(J)$. Alors $K=K_1\cup K_2\in {\mathcal{P}}_f(J)$ et$$\sum _{j\in K_1}{u}_j+\sum _{j\in K_2}{v}_j\le \sum _{j\in K}{u}_j+\sum _{j\in K}{v}_j\le \sum _{j\in K}(u_j+v_j)\le \sum _{j\in J}(u_j+v_j)$$En passant au supremum sur $K_1$ puis sur $K_2$, on conclut $\sum _{j\in J}{u}_j+\sum _{j\in J}{v}_j\le \sum _{j\in J}(u_j+v_j)$. D'où l'égalité.

Multiplication par un réel positif. Soit $K\in {\mathcal{P}}_f(J)$. On a$$\sum _{j\in K}\lambda u_j=\lambda \sum _{j\in K}{u}_j$$En passant au supremum sur $K$ et en utilisant que $\lambda \ge 0$ (donc le supremum passe après la multiplication par $\lambda$), on obtient$$\sum _{j\in J}\lambda u_j=\underset{K\in {\mathcal{P}}_f(J)}{\sup }\lambda \sum _{j\in K}{u}_j=\lambda \underset{K\in {\mathcal{P}}_f(J)}{\sup }\sum _{j\in K}{u}_j=\lambda \sum _{j\in J}{u}_j$$

Posons $S=\sum _{j\in J}{u}_j$ et $T=\sum _{i\in I}\sum _{j\in J_i}{u}_j$ (les deux membres sont dans $[0,+\infty ]$ d'après la Définition 1.1).

Montrons $T\le S$. Soit $F\in {\mathcal{P}}_f(I)$. Pour chaque $i\in F$, soit $K_i\in {\mathcal{P}}_f(J_i)$. Alors $K=\bigcup _{i\in F}{K}_i\in {\mathcal{P}}_f(J)$ (union finie de parties finies) et les $K_i$ étant deux à deux disjoints (car les $J_i$ le sont),$$\sum _{i\in F}\sum _{j\in K_i}{u}_j=\sum _{j\in K}{u}_j\le S$$En passant au supremum sur chaque $K_i$ puis sur $F$, on obtient $T\le S$.

Montrons $S\le T$. Soit $K\in {\mathcal{P}}_f(J)$. Puisque $J=\underset{i\in I}{⨆}{J}_i$ et $K$ est finie, l'ensemble $F=\{i\in I,J_i\cap K\ne \varnothing \}$ est fini. Pour chaque $i\in F$, $K_i=K\cap J_i\in {\mathcal{P}}_f(J_i)$. Alors$$\sum _{j\in K}{u}_j=\sum _{i\in F}\sum _{j\in K_i}{u}_j\le \sum _{i\in F}\sum _{j\in J_i}{u}_j\le T$$En passant au supremum sur $K$, on conclut $S\le T$. Donc $S=T$.

Appliquons la Proposition 1.3 (Sommation par paquets) avec la partition $I\times J=\underset{i\in I}{⨆}(\{i\}\times J)$. Les sous-ensembles $J_i=\{i\}\times J$ sont bien deux à deux disjoints et leur union vaut $I\times J$. On obtient :$$\sum _{(i,j)\in I\times J}{u}_{i,j}=\sum _{i\in I}\sum _{j\in J}{u}_{i,j}$$Par symétrie (en appliquant la Proposition 1.3 avec la partition $I\times J=\underset{j\in J}{⨆}(I\times \{j\})$), on obtient de même :$$\sum _{(i,j)\in I\times J}{u}_{i,j}=\sum _{j\in J}\sum _{i\in I}{u}_{i,j}$$Ces deux égalités, combinées, donnent le résultat.

On veut calculer la somme de la famille ${\left(\frac{1}{q^p}\right)}_{p\ge 2,q\ge 2}$ de réels positifs.

Application du Théorème de Fubini positif (Proposition 1.4) :

Tous les termes $\frac{1}{q^p}$ sont positifs. Par la Proposition 1.4, on peut intervertir les sommations :$$\sum _{p\ge 2,q\ge 2}\frac{1}{q^p}=\sum _{q\ge 2}\left(\sum _{p\ge 2}\frac{1}{q^p}\right).$$Calcul de la somme intérieure (série géométrique) :

Pour $q\ge 2$ fixé, $\frac{1}{q}\in ]0,1[$, donc la série géométrique converge (Proposition 1.3 appliquée à la sommation par paquets, ou directement) :$$\sum _{p\ge 2}\frac{1}{q^p}=\sum _{p\ge 2}{\left(\frac{1}{q}\right)}^p=\frac{(1/q{)}^2}{1-1/q}=\frac{1/q^2}{(q-1)/q}=\frac{1}{q(q-1)}.$$Calcul de la somme extérieure (télescopage) :

On décompose $\frac{1}{q(q-1)}=\frac{1}{q-1}-\frac{1}{q}$ (décomposition en éléments simples). Donc :$$\sum _{q\ge 2}\frac{1}{q(q-1)}=\sum _{q\ge 2}\left(\frac{1}{q-1}-\frac{1}{q}\right).$$Cette série est télescopique : la somme partielle $\sum _{q=2}^N\left(\frac{1}{q-1}-\frac{1}{q}\right)=1-\frac{1}{N}\underset{N\to +\infty }{\to }1$.

Conclusion : $\sum _{p\ge 2,q\ge 2}\frac{1}{q^p}=1$. $\square$