Fonction exponentielle

premiereanalyse

Méthodes · BientôtExercices

1. Introduction de la fonction exponentielle

1.1. Définition

Définition—Fonction exponentielle

Il existe une unique fonction

f

dérivable sur

R

telle que

f^{'} = f

et

f (0) = 1

. Cette fonction s'appelle fonction exponentielle et se note

exp

.

Conséquence:

exp (0) = 1

Remarque

La fonction exponentielle est croissante. Mais sa croissance est très rapide, ainsi

exp (21)

dépasse le milliard.

Pour des valeurs de

x

de plus en plus grandes, la fonction exponentielle prend des valeurs de plus en plus grandes.

Proposition

La fonction exponentielle est strictement positive sur

R

.

Démonstration bientôt disponible

1.2. Variations et courbe

Proposition

La fonction exponentielle est dérivable sur

R

et

(exp (x))^{'} = exp (x)

Démonstration bientôt disponible

Proposition—Variations

La fonction exponentielle est strictement croissante sur

R

.

Démonstration:

(exp (x))^{'} > 0

car

(exp (x))^{'} = exp (x) > 0

.

1.3. Propriétés algébriques

Théorème—Relation fonctionnelle

exp (x + y) = exp (x) exp (y)

Remarque: Cette formule permet de transformer une somme en produit et réciproquement. On l'appelle relation fonctionnelle.

Démonstration bientôt disponible

Proposition—

2. Le nombre e

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

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3. Étude de la fonction exponentielle

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

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4. Fonctions de la forme t ↦ e^(kt)

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5. Exponentielle et suite géométrique

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1. Introduction de la fonction exponentielle

1.1. Définition

Définition—Fonction exponentielle

Il existe une unique fonction

f

dérivable sur

R

telle que

f^{'} = f

et

f (0) = 1

. Cette fonction s'appelle fonction exponentielle et se note

exp

.

Conséquence:

exp (0) = 1

Remarque

La fonction exponentielle est croissante. Mais sa croissance est très rapide, ainsi

exp (21)

dépasse le milliard.

Pour des valeurs de

x

de plus en plus grandes, la fonction exponentielle prend des valeurs de plus en plus grandes.

Proposition

La fonction exponentielle est strictement positive sur

R

.

Démonstration bientôt disponible

1.2. Variations et courbe

Proposition

La fonction exponentielle est dérivable sur

R

et

(exp (x))^{'} = exp (x)

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Proposition—Variations

La fonction exponentielle est strictement croissante sur

R

.

Démonstration:

(exp (x))^{'} > 0

car

(exp (x))^{'} = exp (x) > 0

.

1.3. Propriétés algébriques

Théorème—Relation fonctionnelle

exp (x + y) = exp (x) exp (y)

Remarque: Cette formule permet de transformer une somme en produit et réciproquement. On l'appelle relation fonctionnelle.

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Proposition—

2. Le nombre e

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3. Étude de la fonction exponentielle

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4. Fonctions de la forme t ↦ e^(kt)

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5. Exponentielle et suite géométrique

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Corollaires

a)

exp (- x) = \frac{1}{exp ( x )}

ou encore

exp (x) exp (- x) = 1

b)

exp (x - y) = \frac{exp ( x )}{exp ( y )}

c)

exp (n x) = (exp x)^{n}

avec

n \in N

Démonstration:

a)

exp (x) exp (- x) = exp (x - x) = exp (0) = 1

b)

exp (x - y) = exp (x + (- y)) = exp (x) exp (- y) = exp (x) \frac{1}{exp ( y )} = \frac{exp ( x )}{exp ( y )}

Démonstration bientôt disponible