Fonction logarithme népérien

terminaleanalyse

Méthodes · BientôtExercices

1. Fonction exponentielle et fonction logarithme

1.1. Rappels sur la fonction exponentielle

Encadré—Propriétés de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle est définie, continue, dérivable, strictement croissante et convexe sur

R

.

(e^{x})^{'} = e^{x}

.

-

e^{0} = 1

,

e^{1} = e

-

e^{x} > 0

pour tout

x \in R

-

e^{x + y} = e^{x} e^{y}

,

e^{x - y} = \frac{e ^{x}}{e ^{y}}

,

e^{- x} = \frac{1}{e ^{x}}

,

(e^{x})^{n} = e^{n x}

-

e^{a} = e^{b} ⟺ a = b

et

e^{a} < e^{b} ⟺ a < b

1.2. Définition de la fonction logarithme népérien

Définition—Logarithme népérien

La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur

R

, à valeurs dans

] 0; + \infty [

. Par le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout

a \in] 0; + \infty [

, l'équation

e^{x} = a

admet une unique solution.

- On appelle logarithme népérien de

a > 0

l'unique solution de

e^{x} = a

. On la note

ln a

.
- La fonction logarithme népérien

ln

est définie sur

] 0; + \infty [

par

x \mapsto ln (x)

.

Remarques :
-

exp

et

ln

sont réciproques l'une de l'autre.
- Leurs courbes sont symétriques par rapport à la droite

y = x

.
- En sciences :

lo g (x) = \frac{ln ( x )}{ln ( 10 )}

.

2. Propriétés de la fonction logarithme népérien

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

Voir les offres

3. Étude de la fonction logarithme népérien

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

Voir les offres

4. Croissances comparées

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

Voir les offres

5. Études de fonctions

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

Voir les offres

6. Fonction réciproque

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

Voir les offres

7. Fonction exponentielle et fonction logarithme

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

Voir les offres

8. Propriétés de la fonction logarithme népérien

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

Voir les offres

9. Étude de la fonction logarithme népérien

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

Voir les offres

1. Fonction exponentielle et fonction logarithme

1.1. Rappels sur la fonction exponentielle

Encadré—Propriétés de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle est définie, continue, dérivable, strictement croissante et convexe sur

R

.

(e^{x})^{'} = e^{x}

.

-

e^{0} = 1

,

e^{1} = e

-

e^{x} > 0

pour tout

x \in R

-

e^{x + y} = e^{x} e^{y}

,

e^{x - y} = \frac{e ^{x}}{e ^{y}}

,

e^{- x} = \frac{1}{e ^{x}}

,

(e^{x})^{n} = e^{n x}

-

e^{a} = e^{b} ⟺ a = b

et

e^{a} < e^{b} ⟺ a < b

1.2. Définition de la fonction logarithme népérien

Définition—Logarithme népérien

La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur

R

, à valeurs dans

] 0; + \infty [

. Par le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout

a \in] 0; + \infty [

, l'équation

e^{x} = a

admet une unique solution.

- On appelle logarithme népérien de

a > 0

l'unique solution de

e^{x} = a

. On la note

ln a

.
- La fonction logarithme népérien

ln

est définie sur

] 0; + \infty [

par

x \mapsto ln (x)

.

Remarques :
-

exp

et

ln

sont réciproques l'une de l'autre.
- Leurs courbes sont symétriques par rapport à la droite

y = x

.
- En sciences :

lo g (x) = \frac{ln ( x )}{ln ( 10 )}

.

2. Propriétés de la fonction logarithme népérien

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

Voir les offres

3. Étude de la fonction logarithme népérien

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

Voir les offres

4. Croissances comparées

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

Voir les offres

5. Études de fonctions

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

Voir les offres

6. Fonction réciproque

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

Voir les offres

7. Fonction exponentielle et fonction logarithme

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

Voir les offres

8. Propriétés de la fonction logarithme népérien

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

Voir les offres

9. Étude de la fonction logarithme népérien

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

Voir les offres

Proposition—Propriétés liées à l'exponentielle

Pour tout

x > 0

et tout réel

y

:

a)

x = e^{y} ⟺ y = ln (x)

b)

ln (1) = 0

;

ln (e) = 1

;

ln (\frac{1}{e}) = - 1

c)

ln (e^{x}) = x

d)

e^{l n (x)} = x

pour

x > 0

Démonstrations :
b)

e^{0} = 1 ⟹ ln (1) = 0

;

e^{1} = e ⟹ ln (e) = 1

;

e^{- 1} = \frac{1}{e} ⟹ ln (\frac{1}{e}) = - 1

.

c) Si

y = e^{x}

, alors

ln (y) = x

, soit

ln (e^{x}) = x

.

d) Si

y = ln (x)

, alors

x = e^{y} = e^{l n (x)}

.

Démonstration bientôt disponible