Fonctions exponentielles

premiereanalyse

Méthodes · BientôtExercices

1. Définition et propriété

1.1. Définition

Définition—Fonction exponentielle de base a

La fonction

x \mapsto a^{x}

définie sur

R

, avec

a > 0

, s'appelle fonction exponentielle de base $a$ .

Exemple

La fonction exponentielle de base 1,2 est définie sur

R

par

x \mapsto 1, 2^{x}

.

Pour une suite géométrique de raison

a = 2

et de premier terme 1, on a

u_{n} = 2^{n}

.

Pour la fonction correspondante, on a :

f (4) = 2^{4}

mais on a également :

f (1, 3) = 2^{1, 3}

.

Et de façon générale,

f (x) = 2^{x}

pour tout réel

x

positif.

Remarque

Avec la calculatrice, il est possible de calculer des valeurs d'une fonction exponentielle.

1.2. Propriétés fondamentales

Proposition

La fonction exponentielle de base

a

est strictement positive sur

R

.

Démonstration bientôt disponible

Proposition—Extension aux valeurs négatives

a^{- x} = \frac{1}{a ^{x}}

L'ensemble de définition des fonctions exponentielles peut ainsi être étendu aux valeurs de

x

négatives.

1.3. Propriétés algébriques

Proposition

a)

a^{0} = 1

et

a^{1} = a

b)

a^{x + y} = a^{x} \times a^{y}

c)

a^{x - y} = \frac{a ^{x}}{a ^{y}}

d)

(a^{x})^{n} = a^{n x}

, avec

n

un entier relatif.

2. Variations de la fonction exponentielle

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

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3. Taux d'évolution moyen

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

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1. Définition et propriété

1.1. Définition

Définition—Fonction exponentielle de base a

La fonction

x \mapsto a^{x}

définie sur

R

, avec

a > 0

, s'appelle fonction exponentielle de base $a$ .

Exemple

La fonction exponentielle de base 1,2 est définie sur

R

par

x \mapsto 1, 2^{x}

.

Pour une suite géométrique de raison

a = 2

et de premier terme 1, on a

u_{n} = 2^{n}

.

Pour la fonction correspondante, on a :

f (4) = 2^{4}

mais on a également :

f (1, 3) = 2^{1, 3}

.

Et de façon générale,

f (x) = 2^{x}

pour tout réel

x

positif.

Remarque

Avec la calculatrice, il est possible de calculer des valeurs d'une fonction exponentielle.

1.2. Propriétés fondamentales

Proposition

La fonction exponentielle de base

a

est strictement positive sur

R

.

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Proposition—Extension aux valeurs négatives

a^{- x} = \frac{1}{a ^{x}}

L'ensemble de définition des fonctions exponentielles peut ainsi être étendu aux valeurs de

x

négatives.

1.3. Propriétés algébriques

Proposition

a)

a^{0} = 1

et

a^{1} = a

b)

a^{x + y} = a^{x} \times a^{y}

c)

a^{x - y} = \frac{a ^{x}}{a ^{y}}

d)

(a^{x})^{n} = a^{n x}

, avec

n

un entier relatif.

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3. Taux d'évolution moyen

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Méthode—Simplifier une expression

Simplifier les expressions suivantes :

A = 4^{- 3} \times 4^{- 7}

B = \frac{3 ^{3} \times 3 ^{- 0, 7}}{9 ^{7}}

C = (4, 8^{- 0, 1})^{3} \times 4, 8^{8, 0}

Correction :

A = 4^{- 3} \times 4^{- 7}

A = 4^{- 3 + (- 7)}

A = 4^{- 10}

B = \frac{3 ^{3} \times 3 ^{- 0, 7}}{9 ^{7}}

B = \frac{3 ^{3} \times 3 ^{- 0, 7}}{( 3 ^{2} ) ^{7}}

B = \frac{3 ^{3 - 0, 7}}{3 ^{2 \times 7}}

B = \frac{3 ^{2, 3}}{3 ^{14}}

B = 3^{2, 3 - 14}

B = 3^{- 11, 7}

C = (4, 8^{- 0, 1})^{3} \times 4, 8^{8, 0}

C = 4, 8^{- 0, 1 \times 3} \times 4, 8^{8, 0}

C = 4, 8^{- 0, 3} \times 4, 8^{8, 0}

C = 4, 8^{- 0, 3 + 8, 0}

C = 4, 8^{7, 7}