The Maths Tailor

THE MATHS TAILOR

1. Compléments sur les groupes

1.1. Sous-groupes engendrés

Proposition—Intersection de sous-groupes

Soit

(H_i)_{i \in I}

une famille de sous-groupes d'un groupe

G

. Alors

\displaystyle\bigcap_{i \in I} H_i

est un sous-groupe de

G

Démonstration bientôt disponible

Définition—Sous-groupe engendré par une partie

Soit

A

une partie d'un groupe

G

. On appelle sous-groupe engendré par $A$ l'intersection de tous les sous-groupes de

G

contenant

A

i.e. le plus petit sous-groupe de

G

contenant

A

. On note ce sous-groupe

\langle A \rangle

Remarque

Si le sous-groupe engendré par

A

est

G

, on dit également que

A

est une partie génératrice de

G

Proposition

Soit

A

une partie d'un groupe

G

. Alors

\langle A \rangle = \{a_1^{\varepsilon_1} a_2^{\varepsilon_2} \ldots a_p^{\varepsilon_p}, \, p \in \mathbb{N}, \, (a_1, \ldots, a_p) \in A^p, \, (\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_p) \in \{-1, 1\}^p\}

= \{a_1^{n_1} a_2^{n_2} \ldots a_p^{n_p}, \, p \in \mathbb{N}, \, (a_1, \ldots, a_p) \in A^p, \, (n_1, \ldots, n_p) \in \mathbb{Z}^p\}

Remarque

Dans le cas où

p = 0

, on retrouve l'élément neutre.

Exemple

Le sous-groupe engendré par la partie vide est le sous-groupe trivial contenant le seul élément neutre.
L'ensemble des transpositions de $\mathcal{S}_n$ engendrent $\mathcal{S}_n$ .

Application

Montrer que le groupe orthogonal

\mathrm{O}(E)

d'un espace euclidien

E

est engendré par les réflexions.

Correction bientôt disponible

Application

On note

\mathcal{A}_n

l'ensemble des permutations de

\mathcal{S}_n

de signature

1

. Montrer que

\mathcal{A}_n

est un sous-groupe de

\mathcal{S}_n

engendré par les

3

-cycles.

Proposition—Sous-groupe engendré par un élément

Soient

G

un groupe et

x \in G

. Le sous-groupe engendré par

\{x\}

est appelé plus simplement sous-groupe engendré par $x$ . On le note

\langle x \rangle

Remarque

Si le sous-groupe engendré par

x

est

G

, on dit également que

x

est un générateur de

G

Proposition

Soient

G

un groupe et

x \in G

. Alors

\langle x \rangle = \{x^k, \, k \in \mathbb{Z}\}

Exemple

Les générateurs de $(\mathbb{Z}, +)$ sont $\pm 1$ .
Les générateurs de $\mathbb{U}_n$ sont les $e^{\frac{2ik\pi}{n}}$ avec $k \wedge n = 1$ .

Application—Partie génératrice et morphisme

Soient

f

un morphisme d'un groupe

G

dans un groupe

H

A

une partie de

G

. Montrer que

\langle f(A) \rangle = f(\langle A \rangle)

Proposition—Sous-groupes de

(\mathbb{Z}, +)

Les sous-groupes de

(\mathbb{Z}, +)

sont les

a\mathbb{Z}

avec

a \in \mathbb{Z}

1. Compléments sur les groupes

1.1. Sous-groupes engendrés

Proposition—Intersection de sous-groupes

Soit

(H_i)_{i \in I}

une famille de sous-groupes d'un groupe

G

. Alors

\displaystyle\bigcap_{i \in I} H_i

est un sous-groupe de

G

Démonstration bientôt disponible

Définition—Sous-groupe engendré par une partie

Soit

A

une partie d'un groupe

G

. On appelle sous-groupe engendré par $A$ l'intersection de tous les sous-groupes de

G

contenant

A

i.e. le plus petit sous-groupe de

G

contenant

A

. On note ce sous-groupe

\langle A \rangle

Remarque

Si le sous-groupe engendré par

A

est

G

, on dit également que

A

est une partie génératrice de

G

Proposition

Soit

A

une partie d'un groupe

G

. Alors

\langle A \rangle = \{a_1^{\varepsilon_1} a_2^{\varepsilon_2} \ldots a_p^{\varepsilon_p}, \, p \in \mathbb{N}, \, (a_1, \ldots, a_p) \in A^p, \, (\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_p) \in \{-1, 1\}^p\}

= \{a_1^{n_1} a_2^{n_2} \ldots a_p^{n_p}, \, p \in \mathbb{N}, \, (a_1, \ldots, a_p) \in A^p, \, (n_1, \ldots, n_p) \in \mathbb{Z}^p\}

Remarque

Dans le cas où

p = 0

, on retrouve l'élément neutre.

Exemple

Le sous-groupe engendré par la partie vide est le sous-groupe trivial contenant le seul élément neutre.
L'ensemble des transpositions de $\mathcal{S}_n$ engendrent $\mathcal{S}_n$ .

Application

Montrer que le groupe orthogonal

\mathrm{O}(E)

d'un espace euclidien

E

est engendré par les réflexions.

Correction bientôt disponible

Application

On note

\mathcal{A}_n

l'ensemble des permutations de

\mathcal{S}_n

de signature

1

. Montrer que

\mathcal{A}_n

est un sous-groupe de

\mathcal{S}_n

engendré par les

3

-cycles.

Proposition—Sous-groupe engendré par un élément

Soient

G

un groupe et

x \in G

. Le sous-groupe engendré par

\{x\}

est appelé plus simplement sous-groupe engendré par $x$ . On le note

\langle x \rangle

Remarque

Si le sous-groupe engendré par

x

est

G

, on dit également que

x

est un générateur de

G

Proposition

Soient

G

un groupe et

x \in G

. Alors

\langle x \rangle = \{x^k, \, k \in \mathbb{Z}\}

Exemple

Les générateurs de $(\mathbb{Z}, +)$ sont $\pm 1$ .
Les générateurs de $\mathbb{U}_n$ sont les $e^{\frac{2ik\pi}{n}}$ avec $k \wedge n = 1$ .

Application—Partie génératrice et morphisme

Soient

f

un morphisme d'un groupe

G

dans un groupe

H

A

une partie de

G

. Montrer que

\langle f(A) \rangle = f(\langle A \rangle)

Proposition—Sous-groupes de

(\mathbb{Z}, +)

Les sous-groupes de

(\mathbb{Z}, +)

sont les

a\mathbb{Z}

avec

a \in \mathbb{Z}

Groupes

1. Compléments sur les groupes

1.1. Sous-groupes engendrés

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1.1. Sous-groupes engendrés