Soit (Hi)i∈I une famille de sous-groupes d'un groupe G. Alors i∈I⋂Hi est un sous-groupe de G.
Démonstration bientôt disponible
Définition—Sous-groupe engendré par une partie
Soit A une partie d'un groupe G. On appelle sous-groupe engendré par A l'intersection de tous les sous-groupes de G contenant A i.e. le plus petit sous-groupe de G contenant A. On note ce sous-groupe ⟨A⟩.
Remarque
Si le sous-groupe engendré par A est G, on dit également que A est une partie génératrice de G.
Proposition
Soit A une partie d'un groupe G. Alors ⟨A⟩={a1ε1a2ε2…apεp,p∈N,(a1,…,ap)∈Ap,(ε1,…,εp)∈{−1,1}p} ={a1n1a2n2…apnp,p∈N,(a1,…,ap)∈Ap,(n1,…,np)∈Zp}
Démonstration bientôt disponible
Remarque
Dans le cas où p=0, on retrouve l'élément neutre.
Exemple
Le sous-groupe engendré par la partie vide est le sous-groupe trivial contenant le seul élément neutre.
L'ensemble des transpositions de Sn engendrent Sn.
Application
Montrer que le groupe orthogonal O(E) d'un espace euclidien E est engendré par les réflexions.
Correction bientôt disponible
Application
On note An l'ensemble des permutations de Sn de signature 1. Montrer que An est un sous-groupe de Sn engendré par les 3-cycles.
Correction bientôt disponible
Proposition—Sous-groupe engendré par un élément
Soient G un groupe et x∈G. Le sous-groupe engendré par {x} est appelé plus simplement sous-groupe engendré par x. On le note ⟨x⟩.
Démonstration bientôt disponible
Remarque
Si le sous-groupe engendré par x est G, on dit également que x est un générateur de G.
Proposition
Soient G un groupe et x∈G. Alors ⟨x⟩={xk,k∈Z}.
Démonstration bientôt disponible
Exemple
Les générateurs de (Z,+) sont ±1.
Les générateurs de Un sont les en2ikπ avec k∧n=1.
Application—Partie génératrice et morphisme
Soient f un morphisme d'un groupe G dans un groupe H et A une partie de G. Montrer que ⟨f(A)⟩=f(⟨A⟩).
Correction bientôt disponible
Proposition—Sous-groupes de (Z,+)
Les sous-groupes de (Z,+) sont les aZ avec a∈Z.
Démonstration bientôt disponible
2Le groupe Z/nZ3Ordre d'un élément d'un groupe4Groupes monogènes
TunnelDémontrer que (G,*) est un groupeTunnelDémontrer que H est un sous-groupe de GTunnelCalculer l'ordre d'un élément dans un groupeMCDémontrer que deux groupes ne sont pas isomorphesTunnelDéterminer tous les morphismesRéflexeTravailler dans les groupes finis
