Soit (fn) une suite de fonctions définies sur un intervalle I à valeurs dans K. On suppose que
[(H1)] pour tout n∈N, fn est continue par morceaux sur I;
[(H2)] (fn) converge simplement sur I vers une fonction f;
[(H3)] f est continue par morceaux sur I;
[(H4)] il existe une fonction positive φ intégrable sur I telle que
∀n∈N,∀t∈I,∣fn(t)∣≤φ(t)
Alors f est intégrable sur I et n→+∞lim∫Ifn(t)dt=∫If(t)dt
Démonstration bientôt disponible
Remarque
L'intégrabilité des fn sur I est garantie par la condition de domination.
Exemple
On pose fn:t∈R+↦tn+et1 et In=∫0+∞fn(t)dt pour n∈N. On souhaite déterminer la limite de la suite (In).
(H1) Pour tout n∈N, fn est bien continue (par morceaux) sur R+.
(H2) La suite de fonctions (fn) converge simplement sur R+ vers la fonction f:t∈R+↦⎩⎨⎧e−t1+e10si 0≤t<1si t=1si t>1
(H3)f est bien continue par morceaux sur R+.
(H4) De plus, ∀n∈N,∀t∈R+,∣fn(t)∣≤e−t et la fonction φ:t↦e−t est intégrable sur R+.
D'après le théorème de convergence dominée, n→+∞limIn=∫0+∞f(t)dt=∫01e−tdt=1−e1
Remarque
Comme bien souvent, on peut en fait se passer du théorème de convergence dominée. En effet, en posant Jn=∫01fn(t)dtKn=∫1+∞fn(t)dt on a In=Jn+Kn. On découpe cette intégrale en deux car le comportement de tn change selon que t≤1 ou t≥1.
On se doute alors que Jnn→+∞∫01etdt=1−e−1, ce que l'on montre par le théorème des gendarmes. En effet (1−e−1)−Jn=∫01etdt−∫01tn+etdt=∫01et(tn+et)tndt On en déduit que 0≤Jn−(1−e−1)≤∫01tndt=n+11 et ainsi n→+∞limJn=1−e1.
On se doute de même que Knn→+∞0 et on utilise à nouveau le théorème des gendarmes : pour tout entier n≥2, 0≤∫1+∞tn+etdt≤∫1+∞tndt=n−11 On a donc bien n→+∞limKn=0.
Finalement, n→+∞limIn=1−e−1.
Application
Déterminer la limite de la suite de terme général Wn=∫02πsinn(t)dt.
Méthode—Convergence dominée à intervalle « variable »
Si l'on souhaite étudier la convergence d'une suite d'intégrale (∫Infn), on peut se ramener au cas d'application du théorème de convergence dominée en considérant un intervalle I contenant tous les In ainsi que les fonctions gn:t∈I↦{fn(t)0si t∈Insinon.
Application
Montrer que n→+∞lim∫0n(1−nx2)ndx=∫0+∞e−x2dx
1.2. Convergence dominée pour les limites
Théorème—Convergence dominée
Soient f:J×I→K où I et J sont deux intervalles de R et a∈J (éventuellement a=±∞). On suppose que :
[(H1)] pour tout x∈J, t↦f(x,t) est continue par morceaux sur I;
[(H2)] pour tout t∈I, x→alimf(x,t)=g(t) où g est continue par morceaux sur I;
[(H3)] il existe une fonction positive φ intégrable sur I telle que
∀(x,t)∈J×I,∣f(x,t)∣≤φ(t)
Alors g est intégrable sur I et x→alim∫If(x,t)dt=∫Ig(t)dt
1.3. Intégration terme à terme
Théorème—Intégration terme à terme (cas positif)
Soit ∑fn une série de fonctions définies sur un intervalle I à valeurs dans R+. On suppose que
[(H1)] pour tout n∈N, fn est continue par morceaux sur I;
[(H2)] pour tout n∈N, fn est intégrable sur I;
[(H3)] n∈N∑fn converge simplement sur I vers une fonction f;
[(H4)] f est continue par morceaux sur I;
Alors on a cette égalité dans [0,+∞] : n=0∑+∞∫Ifn(t)dt=∫If(t)dt
2. Continuité
Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.
Soit ∑fn une série de fonctions définies sur un intervalle I à valeurs dans K. On suppose que
[(H1)] pour tout n∈N, fn est continue par morceaux sur I;
[(H2)] pour tout n∈N, fn est intégrable sur I;
[(H3)] n∈N∑fn converge simplement sur I vers une fonction f;
[(H4)] f est continue par morceaux sur I;
[(H5)] la série ∑∫I∣fn(t)∣dt converge.
Alors f est intégrable sur I et n=0∑+∞∫Ifn(t)dt=∫If(t)dt
Démonstration bientôt disponible
Exemple
On souhaite montrer que ∫011+tln(t)dt=n=1∑+∞n2(−1)n
Par développement en série entière ∀t∈]0,1[,1+tln(t)=n=0∑+∞(−1)ntnln(t)
Posons fn:t∈]0,1[↦(−1)ntnln(t). Alors
(H1) pour tout n∈N, fn est continue (par morceaux) sur ]0,1[;
(H2) pour tout n∈N, fn est intégrable sur ]0,1[ puisque t→0+limfn=0 si n>0, f0(t)=t→0+o(1/t) et t→1−limfn=0;
(H3)∑fn converge simplement vers f:t↦1+tln(t) sur ]0,1[;
(H4)f est continue (par morceaux) sur ]0,1[;
(H5) pour tout n∈N, ∫01∣fn(t)∣dt=−∫01tnln(t)dt=(n+1)21 par intégration par parties et ∑(n+1)21 converge.
Par intégration terme à terme, f est intégrable sur ]0,1[ (ce qu'on aurait pu montrer directement) et ∫011+tln(t)dt=n=0∑+∞∫01fn(t)dt=n=0∑+∞(n+1)2(−1)n+1=n=1∑+∞n2(−1)n
Méthode
Il se peut que l'on ne puisse pas procéder à une interversion série/intégrale via le théorème d'intégration terme à terme. L'idée est alors de considérer des sommes partielles.
Exemple
Soit (a,b)∈(R+∗)2. On souhaite montrer que ∫011+tbta−1=n=0∑+∞a+nb(−1)n
On remarque déjà que (série géométrique) ∀t∈[0,1[,1+tbta−1=n=0∑+∞(−1)nta−1+nb
Posons alors fn:t∈[0,1[↦(−1)nta−1+nb. Il est clair que ∫01∣fn(t)∣dt=a+nb1 mais n∈N∑a+nb1 diverge et on ne peut pas utiliser le théorème d'intégration terme à terme.
Posons alors pour t∈[0,1[, Sn(t)=k=0∑nfk(t)=ta−1⋅1+tb1−(−1)n+1t(n+1)b
(H1) Les fonctions Sn sont bien continues (par morceaux) sur [0,1[.
(H2) La suite (Sn) converge simplement vers f:t↦1+tbta−1 sur [0,1[.
(H3)f est bien continue (par morceaux) sur [0,1[.
(H4) Pour tout n∈N et pour tout t∈[0,1[, ∣Sn(t)∣=ta−1⋅1+tb1−(−1)n+1t(n+1)b≤2ta−1 et t↦2ta−1 est intégrable sur [0,1[.
D'après le théorème de convergence dominée, ∫01Sn(t)dtn→+∞∫01f(t)dt ou encore ∫01k=0∑n(−1)kta−1+kbdtn→+∞∫011+tbta−1dt
Comme il s'agit de sommes finies, ceci peut encore s'écrire k=0∑n(−1)k∫01ta−1+kbdtn→+∞∫011+tbta−1dt ou encore k=0∑na+kb(−1)kn→+∞∫011+tbta−1dt ce qui signifie que la série ∑a+nb(−1)n converge (on le savait déjà par critère spécial des séries alternées) et que n=0∑+∞a+nb(−1)n=∫011+tbta−1dt
Remarque
On pouvait aisément se passer du théorème de convergence dominée. En effet k=0∑na+kb(−1)k=k=0∑n∫01(−1)kta−1+kbdt=∫01k=0∑n(−1)kta−1+kbdt(somme finie) =∫01ta−1⋅1+tb1−(−1)n+1t(n+1)bdt=∫011+tbta−1dt−(−1)n+1∫011+tbta−1+(n+1)bdt
Alors 0≤∫011+tbta−1+(n+1)bdt≤∫01ta−1+(n+1)bdt=a+(n+1)b1
D'après le théorème des gendarmes, n→+∞lim∫011+tbta−1+(n+1)bdt=0 puis n→+∞limk=0∑na+kb(−1)k=∫011+tbta−1dt c'est-à-dire n=0∑+∞a+nb(−1)n=∫011+tbta−1dt
