Soit (fn) une suite de fonctions définies sur un intervalle I à valeurs dans K. On suppose que
[(H1)] pour tout n∈N, fn est continue par morceaux sur I;
[(H2)] (fn) converge simplement sur I vers une fonction f;
[(H3)] f est continue par morceaux sur I;
[(H4)] il existe une fonction positive φ intégrable sur I telle que
∀n∈N,∀t∈I,∣fn(t)∣≤φ(t)
Alors f est intégrable sur I et n→+∞lim∫Ifn(t)dt=∫If(t)dt
Démonstration bientôt disponible
Remarque
L'intégrabilité des fn sur I est garantie par la condition de domination.
Exemple
On pose fn:t∈R+↦tn+et1 et In=∫0+∞fn(t)dt pour n∈N. On souhaite déterminer la limite de la suite (In).
(H1) Pour tout n∈N, fn est bien continue (par morceaux) sur R+.
(H2) La suite de fonctions (fn) converge simplement sur R+ vers la fonction f:t∈R+↦⎩⎨⎧e−t1+e10si 0≤t<1si t=1si t>1
(H3)f est bien continue par morceaux sur R+.
(H4) De plus, ∀n∈N,∀t∈R+,∣fn(t)∣≤e−t et la fonction φ:t↦e−t est intégrable sur R+.
D'après le théorème de convergence dominée, n→+∞limIn=∫0+∞f(t)dt=∫01e−tdt=1−e1
Remarque
Comme bien souvent, on peut en fait se passer du théorème de convergence dominée. En effet, en posant Jn=∫01fn(t)dtKn=∫1+∞fn(t)dt on a In=Jn+Kn. On découpe cette intégrale en deux car le comportement de tn change selon que t≤1 ou t≥1.
On se doute alors que Jnn→+∞∫01etdt=1−e−1, ce que l'on montre par le théorème des gendarmes. En effet (1−e−1)−Jn=∫01etdt−∫01tn+etdt=∫01et(tn+et)tndt On en déduit que 0≤Jn−(1−e−1)≤∫01tndt=n+11 et ainsi n→+∞limJn=1−e1.
On se doute de même que Knn→+∞0 et on utilise à nouveau le théorème des gendarmes : pour tout entier n≥2, 0≤∫1+∞tn+etdt≤∫1+∞tndt=n−11 On a donc bien n→+∞limKn=0.
Finalement, n→+∞limIn=1−e−1.
Application
Déterminer la limite de la suite de terme général Wn=∫02πsinn(t)dt.
Correction bientôt disponible
Méthode—Convergence dominée à intervalle « variable »
Si l'on souhaite étudier la convergence d'une suite d'intégrale (∫Infn), on peut se ramener au cas d'application du théorème de convergence dominée en considérant un intervalle I contenant tous les In ainsi que les fonctions gn:t∈I↦{fn(t)0si t∈Insinon.
Application
Montrer que n→+∞lim∫0n(1−nx2)ndx=∫0+∞e−x2dx
Correction bientôt disponible
1.2. Convergence dominée pour les limites
Théorème—Convergence dominée
Soient f:J×I→K où I et J sont deux intervalles de R et a∈J (éventuellement a=±∞). On suppose que :
[(H1)] pour tout x∈J, t↦f(x,t) est continue par morceaux sur I;
[(H2)] pour tout t∈I, x→alimf(x,t)=g(t) où g est continue par morceaux sur I;
[(H3)] il existe une fonction positive φ intégrable sur I telle que
∀(x,t)∈J×I,∣f(x,t)∣≤φ(t)
Alors g est intégrable sur I et x→alim∫If(x,t)dt=∫Ig(t)dt
Démonstration bientôt disponible
Application
Déterminer x→+∞lim∫0+∞x+txe−tdt.
Correction bientôt disponible
1.3. Intégration terme à terme
Théorème—Intégration terme à terme (cas positif)
Soit ∑fn une série de fonctions définies sur un intervalle I à valeurs dans R+. On suppose que
[(H1)] pour tout n∈N, fn est continue par morceaux sur I;
[(H2)] pour tout n∈N, fn est intégrable sur I;
[(H3)] n∈N∑fn converge simplement sur I vers une fonction f;
[(H4)] f est continue par morceaux sur I;
Alors on a cette égalité dans [0,+∞] : n=0∑+∞∫Ifn(t)dt=∫If(t)dt
Démonstration bientôt disponible
Théorème—Intégration terme à terme (cas général)
Soit ∑fn une série de fonctions définies sur un intervalle I à valeurs dans K. On suppose que
[(H1)] pour tout n∈N, fn est continue par morceaux sur I;
[(H2)] pour tout n∈N, fn est intégrable sur I;
[(H3)] n∈N∑fn converge simplement sur I vers une fonction f;
[(H4)] f est continue par morceaux sur I;
[(H5)] la série ∑∫I∣fn(t)∣dt converge.
Alors f est intégrable sur I et n=0∑+∞∫Ifn(t)dt=∫If(t)dt
Démonstration bientôt disponible
Exemple
On souhaite montrer que ∫011+tln(t)dt=n=1∑+∞n2(−1)n
Par développement en série entière ∀t∈]0,1[,1+tln(t)=n=0∑+∞(−1)ntnln(t)
Posons fn:t∈]0,1[↦(−1)ntnln(t). Alors
(H1) pour tout n∈N, fn est continue (par morceaux) sur ]0,1[;
(H2) pour tout n∈N, fn est intégrable sur ]0,1[ puisque t→0+limfn=0 si n>0, f0(t)=t→0+o(1/t) et t→1−limfn=0;
(H3)∑fn converge simplement vers f:t↦1+tln(t) sur ]0,1[;
(H4)f est continue (par morceaux) sur ]0,1[;
(H5) pour tout n∈N, ∫01∣fn(t)∣dt=−∫01tnln(t)dt=(n+1)21 par intégration par parties et ∑(n+1)21 converge.
Par intégration terme à terme, f est intégrable sur ]0,1[ (ce qu'on aurait pu montrer directement) et ∫011+tln(t)dt=n=0∑+∞∫01fn(t)dt=n=0∑+∞(n+1)2(−1)n+1=n=1∑+∞n2(−1)n
Méthode
Il se peut que l'on ne puisse pas procéder à une interversion série/intégrale via le théorème d'intégration terme à terme. L'idée est alors de considérer des sommes partielles.
Exemple
Soit (a,b)∈(R+∗)2. On souhaite montrer que ∫011+tbta−1=n=0∑+∞a+nb(−1)n
On remarque déjà que (série géométrique) ∀t∈[0,1[,1+tbta−1=n=0∑+∞(−1)nta−1+nb
Posons alors fn:t∈[0,1[↦(−1)nta−1+nb. Il est clair que ∫01∣fn(t)∣dt=a+nb1 mais n∈N∑a+nb1 diverge et on ne peut pas utiliser le théorème d'intégration terme à terme.
Posons alors pour t∈[0,1[, Sn(t)=k=0∑nfk(t)=ta−1⋅1+tb1−(−1)n+1t(n+1)b
(H1) Les fonctions Sn sont bien continues (par morceaux) sur [0,1[.
(H2) La suite (Sn) converge simplement vers f:t↦1+tbta−1 sur [0,1[.
(H3)f est bien continue (par morceaux) sur [0,1[.
(H4) Pour tout n∈N et pour tout t∈[0,1[, ∣Sn(t)∣=ta−1⋅1+tb1−(−1)n+1t(n+1)b≤2ta−1 et t↦2ta−1 est intégrable sur [0,1[.
D'après le théorème de convergence dominée, ∫01Sn(t)dtn→+∞∫01f(t)dt ou encore ∫01k=0∑n(−1)kta−1+kbdtn→+∞∫011+tbta−1dt
Comme il s'agit de sommes finies, ceci peut encore s'écrire k=0∑n(−1)k∫01ta−1+kbdtn→+∞∫011+tbta−1dt ou encore k=0∑na+kb(−1)kn→+∞∫011+tbta−1dt ce qui signifie que la série ∑a+nb(−1)n converge (on le savait déjà par critère spécial des séries alternées) et que n=0∑+∞a+nb(−1)n=∫011+tbta−1dt
Remarque
On pouvait aisément se passer du théorème de convergence dominée. En effet k=0∑na+kb(−1)k=k=0∑n∫01(−1)kta−1+kbdt=∫01k=0∑n(−1)kta−1+kbdt(somme finie) =∫01ta−1⋅1+tb1−(−1)n+1t(n+1)bdt=∫011+tbta−1dt−(−1)n+1∫011+tbta−1+(n+1)bdt
Alors 0≤∫011+tbta−1+(n+1)bdt≤∫01ta−1+(n+1)bdt=a+(n+1)b1
D'après le théorème des gendarmes, n→+∞lim∫011+tbta−1+(n+1)bdt=0 puis n→+∞limk=0∑na+kb(−1)k=∫011+tbta−1dt c'est-à-dire n=0∑+∞a+nb(−1)n=∫011+tbta−1dt
2Continuité3Dérivabilité
TunnelComment utiliser le theoreme de convergence dominee ?TunnelComment permuter une serie et une integrale ?MCComment ecrire une integrale comme la somme d'une serie ?MCComment determiner la limite d'une suite d'integrales dont les bornes varient ?TunnelComment demontrer la continuite d'une integrale a parametres ?TunnelComment demontrer qu'une fonction definie par une integrale a parametres est C^\infty ?MCComment trouver un equivalent ou un developpement asymptotique d'une integrale a parametres ?MCComment calculer certaines integrales a parametres ?
Cours
1Passage à la limite
2Continuité
3Dérivabilité
Méthodes8
TunnelComment utiliser le theoreme de convergence dominee ?
