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Intégration | The Maths Tailor

Intégration

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Thème : Analyse

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1. Intégration des fonctions en escalier

1.1. Fonctions en escalier sur un segment

Définition—Fonction en escalier

On dit qu'une application

\varphi : [a, b] \to \mathbb{R}

est en escalier s'il existe

n \in \mathbb{N}

et des réels

x_0, x_1, \ldots, x_n

tels que

(i)

a = x_0 < x_1 < \cdots < x_{n-1} < x_n = b

;

(ii)

\varphi

est constante sur chaque intervalle

]x_i, x_{i+1}[

pour

i \in \llbracket 1, n - 1 \rrbracket

.
\nUne telle famille

(x_i)_{0 \leq i \leq n}

est appelée une subdivision de $[a, b]$ subordonnée à $\varphi$ .
\nL'ensemble des fonctions en escalier sur

[a, b]

se note

\mathcal{E}([a, b], \mathbb{R})

ou plus simplement

\mathcal{E}([a, b])

. C'est un sous-espace vectoriel et un sous-anneau de

\mathbb{R}^{[a,b]}

1.2. Intégrale d'une fonction en escalier

Définition—Intégrale d'une fonction en escalier

Soit

\varphi \in \mathcal{E}([a, b])

u = (x_i)_{0 \leq i \leq n}

une subdivision subordonnée à

\varphi

.
\nPour

i \in \llbracket 0, n - 1 \rrbracket

, on note

c_i

la valeur de

\varphi

sur

]x_i, x_{i+1}[

.
\nLa quantité

\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} c_i(x_{i+1} - x_i)

est indépendante de la subdivision

u

choisie.
\nOn l'appelle l'intégrale de $\varphi$ sur $[a, b]$ et on la note

\displaystyle\int_{[a,b]} \varphi

1.3. Propriétés de l'intégrale des fonctions en escalier

Proposition—Propriétés de l'intégrale

Linéarité : L'intégrale est une forme linéaire sur

\mathcal{E}([a, b])

.

Positivité de l'intégrale : L'intégrale d'une fonction en escalier positive est positive.

Croissance de l'intégrale : Soit

(\varphi, \psi) \in \mathcal{E}([a, b])^2

tel que

\varphi \leq \psi

. Alors

\displaystyle\int_{[a,b]} \varphi \leq \int_{[a,b]} \psi

.

Relation de Chasles : Soit

\varphi \in \mathcal{E}([a, b])

c \in ]a, b[

. Alors les restrictions de

\varphi

[a, c]

[c, b]

sont en escalier et

\int_{[a,b]} \varphi = \int_{[a,c]} \varphi|_{[a,c]} + \int_{[c,b]} \varphi|_{[c,b]}

2. Intégration des fonctions continues par morceaux

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

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3. Calcul de primitives et d'intégrales

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

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4. Approximation d'intégrales

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5. Cas des fonctions à valeurs complexes

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1. Intégration des fonctions en escalier

1.1. Fonctions en escalier sur un segment

Définition—Fonction en escalier

On dit qu'une application

\varphi : [a, b] \to \mathbb{R}

est en escalier s'il existe

n \in \mathbb{N}

et des réels

x_0, x_1, \ldots, x_n

tels que

(i)

a = x_0 < x_1 < \cdots < x_{n-1} < x_n = b

;

(ii)

\varphi

est constante sur chaque intervalle

]x_i, x_{i+1}[

pour

i \in \llbracket 1, n - 1 \rrbracket

.
\nUne telle famille

(x_i)_{0 \leq i \leq n}

est appelée une subdivision de $[a, b]$ subordonnée à $\varphi$ .
\nL'ensemble des fonctions en escalier sur

[a, b]

se note

\mathcal{E}([a, b], \mathbb{R})

ou plus simplement

\mathcal{E}([a, b])

. C'est un sous-espace vectoriel et un sous-anneau de

\mathbb{R}^{[a,b]}

1.2. Intégrale d'une fonction en escalier

Définition—Intégrale d'une fonction en escalier

Soit

\varphi \in \mathcal{E}([a, b])

u = (x_i)_{0 \leq i \leq n}

une subdivision subordonnée à

\varphi

.
\nPour

i \in \llbracket 0, n - 1 \rrbracket

, on note

c_i

la valeur de

\varphi

sur

]x_i, x_{i+1}[

.
\nLa quantité

\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} c_i(x_{i+1} - x_i)

est indépendante de la subdivision

u

choisie.
\nOn l'appelle l'intégrale de $\varphi$ sur $[a, b]$ et on la note

\displaystyle\int_{[a,b]} \varphi

1.3. Propriétés de l'intégrale des fonctions en escalier

Proposition—Propriétés de l'intégrale

Linéarité : L'intégrale est une forme linéaire sur

\mathcal{E}([a, b])

.

Positivité de l'intégrale : L'intégrale d'une fonction en escalier positive est positive.

Croissance de l'intégrale : Soit

(\varphi, \psi) \in \mathcal{E}([a, b])^2

tel que

\varphi \leq \psi

. Alors

\displaystyle\int_{[a,b]} \varphi \leq \int_{[a,b]} \psi

.

Relation de Chasles : Soit

\varphi \in \mathcal{E}([a, b])

c \in ]a, b[

. Alors les restrictions de

\varphi

[a, c]

[c, b]

sont en escalier et

\int_{[a,b]} \varphi = \int_{[a,c]} \varphi|_{[a,c]} + \int_{[c,b]} \varphi|_{[c,b]}

2. Intégration des fonctions continues par morceaux

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