Intégration

Soit $\varphi \in \mathcal{E}([a, b])$ et $u = (x_i)_{0 \leq i \leq n}$ une subdivision subordonnée à $\varphi$. On note $c_i$ la valeur de $\varphi$ sur $]x_i, x_{i+1}[$.

Linéarité. Soient $\varphi, \psi \in \mathcal{E}([a, b])$ et $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$. On peut choisir une subdivision commune $(x_i)$ subordonnée à la fois à $\varphi$ et à $\psi$ (il suffit de prendre le raffinement commun). Sur $]x_i, x_{i+1}[$, $\lambda\varphi + \mu\psi$ vaut $\lambda c_i + \mu d_i$ où $c_i$ (resp. $d_i$) est la valeur de $\varphi$ (resp. $\psi$) sur cet intervalle. Alors :

$$\int_{[a,b]} (\lambda\varphi + \mu\psi) = \sum_{i=0}^{n-1} (\lambda c_i + \mu d_i)(x_{i+1} - x_i) = \lambda \sum_{i=0}^{n-1} c_i(x_{i+1} - x_i) + \mu \sum_{i=0}^{n-1} d_i(x_{i+1} - x_i) = \lambda \int_{[a,b]} \varphi + \mu \int_{[a,b]} \psi$$

Positivité. Si $\varphi \geq 0$, alors chaque $c_i \geq 0$ et chaque $(x_{i+1} - x_i) > 0$, donc $\displaystyle\int_{[a,b]} \varphi = \sum_{i=0}^{n-1} c_i(x_{i+1} - x_i) \geq 0$.

Croissance. Si $\varphi \leq \psi$, alors $\psi - \varphi \in \mathcal{E}([a, b])$ et $\psi - \varphi \geq 0$. Par positivité et linéarité :

$$\int_{[a,b]} \psi - \int_{[a,b]} \varphi = \int_{[a,b]} (\psi - \varphi) \geq 0$$

Relation de Chasles. Soit $c \in ]a, b[$. On part d'une subdivision $(x_i)$ de $[a, b]$ subordonnée à $\varphi$. On peut supposer que $c$ est l'un des $x_j$ (sinon on raffine). Les restrictions $\varphi|_{[a,c]}$ et $\varphi|_{[c,b]}$ sont en escalier sur leurs segments respectifs, avec les mêmes valeurs $c_i$ sur chaque sous-intervalle ouvert. On a :

$$\int_{[a,b]} \varphi = \sum_{i=0}^{n-1} c_i(x_{i+1} - x_i) = \sum_{x_i < c} c_i(x_{i+1} - x_i) + \sum_{x_i \geq c} c_i(x_{i+1} - x_i) = \int_{[a,c]} \varphi|_{[a,c]} + \int_{[c,b]} \varphi|_{[c,b]}$$