Intégration

On pose, pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
$f_n : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $x \mapsto \frac{x^n e^{-x}}{n!}$ (avec la convention $0^0 = 1$) et $u_n = \int_0^1 \frac{x^n e^{-x}}{n!} dx = \int_0^1 f_n(x) dx$.
(a) Soit $n \in \mathbb{N}^*$, exprimer $f'_n$ en fonction de $f_n$ et de $f_{n-1}$.
(b) Soit $n \in \mathbb{N}^*$, calculer $\int_0^1 f'_n(x) dx$.
(c) Calculer $u_0$.
(d) Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : $u_n = u_{n-1} - \frac{1}{en!}$.
(e) Montrer que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est décroissante.
(f) Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \geq 0$.
(g) En déduire que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge.
(h) Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $u_n \leq \frac{1}{n!}$.
(i) En déduire la limite de la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$.

En utilisant les sommes de Riemann, étudier les limites des suites :
1. $\sum_{k=n}^{2n-1} \frac{1}{k}$.
2. $n\left(\frac{1}{(n+1)^2} + ... + \frac{1}{(n+n)^2}\right)$.
3. $\frac{\sqrt{1} + ... + \sqrt{n-1}}{n\sqrt{n}}$.
4. $n\sqrt[n]{\left(1 + \left(\frac{1}{n}\right)^2\right)...\left(1 + \left(\frac{n}{n}\right)^2\right)}$

À faire avec les sommes de Riemann.
1. Calculer $\int_a^b k^t dt$. ($k > 0$, $0 < a < b$).
2. Calculer $\int_a^b e^t dt$.
3. Calculer $\int_a^b \cos t dt$.

Soient $f$, $g$ deux fonctions continues sur $[a, b]$. Montrer que :
1. $\left(\int_a^b f(t)g(t)dt\right)^2 \leq \left(\int_a^b f^2(t)dt\right)\left(\int_a^b g^2(t)dt\right)$.
2. L'égalité a lieu si, et seulement si $f$ et $g$ sont proportionnelles.

En regardant les fonctions suivantes comme des dérivées de fonctions composées, en déterminer les primitives. Vérifier en dérivant.
1. $\exp(\sin x) \cos x$.
2. $(x^2 + 1)^{5/2} x$.
3. $(x^3 + x + 1)^7 (3x^2 + 1)$.
4. $2x \exp(x^2) \cos[\exp(x^2)]$.
5. $\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$.
6. $\frac{\cos x}{1 + \sin x}$.
7. $\frac{\ln 5x}{x}$.
8. $\frac{1}{x \ln x}$.
9. $\frac{x}{(2x + 1)^5}$.

En faisant des intégrations par parties, déterminer les primitives des fonctions suivantes. Vérifier en dérivant.
1. $x \cos x$.
2. $x \exp(-x)$.
3. $\arctan x$.
4. $(\ln x)^2$.
5. $\frac{\ln \ln x}{x}$.
6. $\sin \ln x$.
7. $x^3 \exp(-x^2)$.

Avec des intégrations par parties, calculer :
1. $\int_0^\pi x^2 \sin x dx$.
2. $\int_0^\pi \sin^5 x dx$.
3. $\int_0^1 x^2 e^{2x} dx$.
4. $\int_1^2 x \ln x dx$.

Soit $f$ continue sur $[-b; b]$.
1. Si $f$ est paire, utiliser un changement de variable pour montrer que $\int_{-b}^b f(x)dx = 2\int_0^b f(x)dx$.
2. Si $f$ est impaire, montrer que $\int_{-b}^b f(x)dx = 0$.

Déterminer les primitives de :
1. $\ln x$
2. $\arctan x$
3. $xe^{-x}$
4. $xe^{-x^2}$
5. $x^3e^{-x}$
6. $e^x \sin x$

Soit la suite de terme général $u_n = \frac{1}{n}\left(\sqrt[n]{2} + \sqrt[n]{4} + ... + \sqrt[n]{2^n}\right)$, $n \in \mathbb{N}^*$
1. Donner une expression de $u_n$ en fonction de $n$ et de $\sqrt[n]{2}$.
2. (a) Étudier $\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{2}$.
(b) Démontrer que $\lim_{x \to 0} \frac{\exp x - 1}{x} = 1$.
(c) En déduire $\lim_{n \to +\infty} n(\sqrt[n]{2} - 1)$ et $\lim_{n \to +\infty} u_n$.
3. (a) Calculer $\int_0^1 2^x dx$.
(b) En remarquant que $u_n$ est une somme de Riemann à définir, retrouver la limite de $u_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.

Soit $(I_n)$ la suite d'intégrales définie pour $n \geq 0$ par $I_n = \int_0^1 x^n e^x dx$.
1. Calculer $I_0$.
2. Pour $n \geq 1$, établir une relation de récurrence entre $I_{n-1}$ et $I_n$.
3. Montrer que pour $n \geq 1$, on a $0 \leq I_n \leq \frac{e}{n + 1}$.
4. Étudier la limite de la suite $(I_n)$.

Soient $m$, $n$ des entiers strictement positifs. On définit $B(m, n) = \int_0^1 x^n(1 - x)^m dx$.
1. Montrer que $B(n, m) = \frac{n}{m + 1}B(n - 1, m + 1)$.
2. Montrer que $B(n, m) = \frac{n!m!}{(n + m + 1)!}$.

Soit un entier $m \geq 0$, on définit $K_m(x) = \int x^m \sin x dx$.
1. Déterminer $K_1(x)$.
2. Soit $m \geq 2$, montrer que $K_m(x) = -x^m \cos x + mx^{m-1} \sin x - m(m - 1)K_{m-2}$.
3. Déterminer $K_0(x)$, $K_1(x)$, $K_2(x)$.
4. Déterminer $K_3(x)$.

Soit $f$ de classe $C^1$, positive et décroissante, soit $g$ continue, soit $[a, b]$. Cet exercice montre qu'il existe $c \in [a, b]$ tel que $\int_a^b f(t)g(t)dt = f(a)\int_a^c g(t)dt$.
1. Soit $x \in [a, b]$, on définit $G(x) = \int_a^x g(t)dt$. Montrer, en faisant une intégration par parties, que $\int_a^b f(t)g(t)dt = G(b)f(b) + \int_a^b g(t)(-f'(t))dt$.
2. On note $m = \inf\{G(x), x \in [a, b]\}$ et $M = \sup\{G(x), x \in [a, b]\}$. Montrer que $mf(a) \leq \int_a^b f(t)g(t)dt \leq Mf(a)$.
3. En déduire le résultat.

Soient $f$ une fonction de classe $C^1$ sur $[a, b]$, et $M$ un majorant de $|f'|$ sur cet intervalle. Soit $R_n(f)$ la somme de Riemann régulière à gauche de $f$ sur $[a, b]$. Montrer que, pour tout $n \geq 1$ : $\left|\int_a^b f(t)dt - R_n(f)\right| \leq \frac{M(b - a)^2}{2n}$.

Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ sur un segment $[a; b]$. Montrer que $\lim_{n \to +\infty} \int_a^b f(t) \sin(nt)dt = 0$.

L'objet de cet exercice est d'étudier la suite de terme général $u_n = \int_0^1 f_n(x)dx$, où $f_n(x) = \frac{x^n}{\sqrt{1 + x}}$.
1. Calculer la limite de $f_n(x)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$, $x$ étant un point donné de $[0; 1]$.
2. Calculer $u_0$ et $u_1$, en effectuant le changement de variable $t = 1 + x$.
3. Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.
4. Étudier les variations de la fonction $x \mapsto \frac{1}{\sqrt{1 + x}}$ sur $[0; 1]$. En déduire un encadrement de $u_n$. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
5. En observant que $u_{n-1} + u_n = \int_0^1 x^{n-1}\sqrt{1 + x}dx$, établir que $u_{n-1} + u_n \leq \frac{\sqrt{2}}{n}$.
6. À l'aide des résultats précédents, établir que $\frac{\sqrt{2}}{2(n + 1)} \leq u_n \leq \frac{\sqrt{2}}{2n}$. En déduire la limite de $nu_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.

Déterminer toutes les primitives des fonctions suivantes : $f(x) = \frac{x}{1 + x^2}$ $g(x) = \frac{e^{3x}}{1 + e^{3x}}$ $h(x) = \frac{\ln x}{x}$ $k(x) = \cos(x) \sin^2(x)$ $l(x) = \frac{1}{x \ln x}$ $m(x) = 3x\sqrt{1 + x^2}$

Déterminer une primitive des fonctions suivantes sur l'intervalle considéré : 1. $f(x) = (3x - 1)(3x^2 - 2x + 3)^3$, $I = \mathbb{R}$ 2. $f(x) = \frac{1 - x^2}{(x^3 - 3x + 2)^3}$, $I = ]-\infty, -2[$ 3. $f(x) = \frac{(x-1)}{\sqrt{x(x-2)}}$, $I = ]-\infty, 0[$ 4. $f(x) = \frac{1}{x \ln(x^2)}$, $I = ]1, +\infty[$

Déterminer une primitive des fonctions suivantes : 1. $x \mapsto \arctan(x)$ 2. $x \mapsto (\ln x)^2$ 3. $x \mapsto \sin(\ln x)$.

Calculer les intégrales suivantes : 1. $I = \int_1^2 \frac{\ln(1 + t)}{t^2} dt$ 2. $J = \int_0^1 x(\arctan x)^2 dx$

3. $K = \int_0^1 \frac{x \ln x}{(x^2 + 1)^2} dx$

Pour $n \geq 1$, donner une primitive de $\ln^n x$.

Pour $(n, p)$ éléments de $\mathbb{N}^* \times \mathbb{N}$, on pose $I_{n,p} = \int_0^1 x^n (\ln x)^p dx.$ Calculer $I_{n,p}$.

Soit $f : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction de classe $\mathcal{C}^1$. Démontrer que $\int_a^b f(t) \sin(nt)dt \rightarrow 0.$

En effectuant le changement de variables demandé, calculer les intégrales suivantes : 1. $\int_1^4 \frac{1 - \sqrt{t}}{\sqrt{t}} dt$ en posant $x = \sqrt{t}$. 2. $\int_0^\pi \frac{\sin t}{1 + \cos^2 t} dt$ en posant $x = \cos t$; 3. $\int_1^e \frac{dt}{2t \ln(t) + t}$ en posant $x = \ln t$.

En effectuant le changement de variables indiqué, calculer les intégrales suivantes : 1. $\int_0^1 \frac{dt}{1 + e^t}$ en posant $x = e^t$; 2. $\int_1^3 \frac{\sqrt{t}}{t + 1} dt$ en posant $x = \sqrt{t}$; 3. $\int_{-1}^1 \sqrt{1 - t^2} dt$ en posant $t = \sin \theta$.

On demande de calculer $I = \int_0^\pi \frac{dx}{1 + \cos^2(x)}.$ Sur une copie d'un étudiant, on lit $I = \int_0^\pi \frac{dx}{1 + \frac{1}{1 + \tan^2 x}}$ $= \int_0^\pi \frac{(1 + \tan^2 x) dx}{2 + \tan^2 x}.$ Je pose $t = \tan x$, d'où $dt = (1 + \tan^2 x)dx$, et j'obtiens $I = \int_{\tan 0}^{\tan \pi} \frac{1}{2 + t^2} dt = 0.$ 1. Pourquoi est-ce manifestement faux? 2. Où est l'erreur de raisonnement? 3. Quelle est la valeur de $I$?

Les buts du problème sont l'étude de la fonction $f$ suivante : $f : ]0,+\infty[ \to \mathbb{R}$, $x \mapsto \frac{\ln(e^{2x}-1)}{e^x}$. puis la recherche de primitives de cette fonction. **Première partie : Étude de fonctions auxiliaires** 1. On définit la fonction $g$ par : $g : ]1,+\infty[ \to \mathbb{R}$, $x \mapsto 2x - (x-1)\ln(x-1)$. (a) Déterminer la limite de $g(x)$ lorsque $x$ tend vers 1. (b) Montrer que $g$ est dérivable sur $]1,+\infty[$ et calculer $g'(x)$ pour tout $x \in ]1,+\infty[$. (c) Étudier le sens de variation de $g$ sur l'intervalle $]1,+\infty[$. (d) Montrer que l'équation $g(x) = 0$ a une unique solution, notée $\alpha$, dans l'intervalle $[e+1, e^3+1]$ et étudier le signe de $g(x)$ sur chacun des intervalles $]1,\alpha[$ et $]\alpha,+\infty[$. 2. On définit la fonction $\varphi$ par : $\varphi : ]1,+\infty[ \to \mathbb{R}$, $x \mapsto \frac{\ln(x^2-1)}{x}$. (a) Déterminer $\lim_{x\to 1} \varphi(x)$ et prouver que $\lim_{x\to+\infty} \varphi(x) = 0$. (b) Montrer que $\varphi$ est dérivable sur $]1,+\infty[$ et montrer que $\varphi'(x)$ est du signe de $g(x^2)$ pour tout $x \in ]1,+\infty[$. (c) Montrer que $\varphi$ est croissante sur l'intervalle $]1,\sqrt{\alpha}[$ et décroissante sur l'intervalle $]\sqrt{\alpha},+\infty[$. **Deuxième partie : Étude de la fonction $f$** 1. Montrer que, pour tout $x \in ]0,+\infty[$, $f(x) = \varphi(e^x)$. 2. En déduire : (a) la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers 0, (b) la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$, (c) le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $]0,+\infty[$ et que $f$ admet un maximum en $\ln(\sqrt{\alpha})$. 3. Montrer que, pour tout $x \in ]0,+\infty[$ : $f(x) \leq \frac{2\sqrt{\alpha}}{\alpha-1}$. 4. Représenter graphiquement $f$. **Troisième partie : Recherche de primitives de $f$** 1. Montrer que, pour tout $x \in ]0,+\infty[$ : $f'(x) + f(x) = \frac{e^x}{e^x-1} - \frac{e^x}{e^x+1}$. 2. Déterminer une primitive sur $]0,+\infty[$ de la fonction $x \mapsto \frac{e^x}{e^x-1} - \frac{e^x}{e^x+1}$. 3. En déduire les primitives de $f$ sur $]0,+\infty[$.

On considère une fonction $f$ définie sur un segment $I$ de bornes $a$ et $x$. On définit le reste de Taylor d'ordre $n$ de la fonction $f$ en $a$, noté $R_n(x)$ par l'égalité $f(x) = P_{n-1}(x) + R_n(x)$ où $P_{n-1}(x)$ désigne le polynôme de Taylor de $f$ de degré $\leq n - 1$ en $a$. Pour une fonction $f$ $n$ fois continûment dérivable sur $I$, on montre dans cet exercice que $R_n(x) = \int_a^x \frac{(x - t)^{n-1}}{(n - 1)!}f^{(n)}(t)dt$. 1. Soit $n = 1$. Justifier que $f(x) - f(a) = R_1(x)$. 2. On part de la relation $f(x) = f(a) + \int_a^x f'(t)dt$. En faisant une intégration par parties, montrer que $f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \int_a^x (x - t)f''(t)dt$. On pourra remarquer que les dérivées des fonctions de la variable $t$ définies par $t \mapsto t$ et $t \mapsto -(x - t)$ sont égales. 3. Montrer que $R_3(x) = \int_a^x \frac{(x - t)^2}{2!}f'''(t)dt$. 4. Montrer, par récurrence, le résultat voulu.

Déterminer les primitives des fonctions proposées en indiquant l'ensemble de validité : \begin{itemize} \item (a) $\dfrac{x+1}{\sqrt{2-x^2}}$ \item (b) $\dfrac{x}{\sqrt{(x-1)(3-x)}}$ \item (c) $\dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+1}}$ \item (d) $\dfrac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}$ \item (e) $\dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x}$ \end{itemize}