Intégration | The Maths Tailor

Intégration

Cours Exercices

Cours

1Intégration des fonctions en escalier

2Intégration des fonctions continues par morceaux

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3Calcul de primitives et d'intégrales

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4Approximation d'intégrales

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5Cas des fonctions à valeurs complexes

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Méthodes20p.1/2

ClassiqueSuites d'intégrales

Étude de suites $(u_{n})$ où $u_{n} = \int_{a}^{b} f_{n} (x) d x$ : recherche de relations de récurrence, majorations du type $∣ u_{n} ∣ \leq \int_{a}^{b} ∣ f_{n} (x) ∣ d x$ , convergence.

TunnelInégalité de Cauchy-Schwarz intégrale

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ClassiqueDémos avec propriétés de l'intégrale

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TunnelComposition de fonctions

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PavlovReconnaître les primitives usuelles

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ClassiqueÉquation fonctionnelle avec intégrale

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TunnelIntégrales à paramètres

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ClassiqueChangement de variable dans une intégrale

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ClassiqueIntégration par parties

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TunnelIntégration par parties

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1 / 2

Exercices

f_{n} (x) = x^{n} e^{- x} / n! et suite u_{n}

On pose, pour tout

n \in N

,

f_{n} : R \to R

,

x \mapsto \frac{x ^{n} e ^{- x}}{n !}

(avec la convention

0^{0} = 1

) et

u_{n} = \int_{0}^{1} f_{n} (x) d x

.

Soit $n \in N^{*}$ . Exprimer $f_{n}^{'}$ en fonction de $f_{n}$ et de $f_{n - 1}$ .
Soit $n \in N^{*}$ . Calculer $\int_{0}^{1} f_{n}^{'} (x) d x$ .
Calculer $u_{0}$ .
Montrer que, pour tout $n \in N^{*}$ , $u_{n} = u_{n - 1} - \frac{1}{e n !}$ .
Montrer que la suite $(u_{n})_{n \in N}$ est decroissante.
Montrer que, pour tout $n \in N$ , $u_{n} \geq 0$ .
En deduire que la suite $(u_{n})_{n \in N}$ converge.
Montrer que, pour tout $n \in N$ , $u_{n} \leq \frac{1}{n !}$ .
En deduire la limite de la suite $(u_{n})_{n \in N}$ .

Indication