Les suites

terminaleanalyse

Méthodes · BientôtExercices

1. Raisonnement par récurrence

1.1. Principe et définitions

Définition—Propriété héréditaire

On dit qu'une propriété est héréditaire à partir d'un certain rang si : la propriété est vraie pour un entier

k

implique qu'elle est vraie pour l'entier

k + 1

.

Théorème—Principe du raisonnement par récurrence

Si la propriété

P

est :
- vraie au rang

n_{0}

(Initialisation),
- héréditaire à partir du rang

n_{0}

(Hérédité),

alors la propriété

P

est vraie pour tout entier

n \geq n_{0}

.

Remarque : On tente d'utiliser une démonstration par récurrence lorsqu'une démonstration classique n'est pas possible ou est trop difficile.

Démonstration bientôt disponible

Méthode—Démontrer une propriété par récurrence

Exemple : Démontrer que pour tout entier naturel

n

non nul,

2^{n} > n

.

• Initialisation ( $n = 1$ ) :

2^{1} = 2 > 1

✓

• Hérédité : Supposons que pour un certain entier

k \geq 1

, on ait

2^{k} > k

.

Démontrons que

2^{k + 1} > k + 1

:

2^{k} > k ⟹ 2 \times 2^{k} > 2 k ⟹ 2^{k + 1} > 2 k = k + k \geq k + 1 (car k \geq 1)

• Conclusion : La propriété est vraie pour

n = 1

et héréditaire. Par récurrence,

2^{n} > n

pour tout entier

n \geq 1

.

Méthode—Démontrer par récurrence l'expression générale d'une suite

Exemple : Soit

(u_{n})

définie par

u_{n + 1} = u_{n} + 2 n + 3

et

u_{0} = 1

. Démontrer que

u_{n} = (n + 1)^{2}

.

• Initialisation ( $n = 0$ ) :

(0 + 1)^{2} = 1 = u_{0}

✓

• Hérédité : Supposons

u_{k} = (k + 1)^{2}

pour un certain entier

k

.

u_{k + 1} = u_{k} + 2 k + 3 = (k + 1)^{2} + 2 k + 3 = k^{2} + 4 k + 4 = (k + 2)^{2}

• Conclusion : Par récurrence,

u_{n} = (n + 1)^{2}

pour tout entier

n \geq 0

.

Méthode—Démontrer la monotonie par récurrence

Exemple : Soit

(u_{n})

définie par

u_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n} + 2

et

u_{0} = 2

. Démontrer que

(u_{n})

est croissante.

On démontre que

u_{n + 1} \geq u_{n}

pour tout

n

.

• Initialisation :

u_{1} = \frac{1}{2} \times 2 + 2 = 3 > 2 = u_{0}

✓

• Hérédité : Supposons

u_{k + 1} \geq u_{k}

.

u_{k + 1} \geq u_{k} ⟹ \frac{1}{2} u_{k + 1} \geq \frac{1}{2} u_{k} ⟹ \frac{1}{2} u_{k + 1} + 2 \geq \frac{1}{2} u_{k} + 2 ⟹ u_{k + 2} \geq u_{k + 1}

• Conclusion : La suite

(u_{n})

est croissante.

1.2. Inégalité de Bernoulli

Proposition—Inégalité de Bernoulli

Soit

a

un nombre réel positif. Pour tout entier naturel

n

:

(1 + a)^{n} \geq 1 + na

Démonstration (au programme) :

• Initialisation ( $n = 0$ ) :

(1 + a)^{0} = 1 = 1 + 0 \times a

✓

• Hérédité : Supposons

(1 + a)^{k} \geq 1 + k a

. Comme

1 + a > 0

:

(1 + a)^{k + 1} \geq (1 + a) (1 + k a) = 1 + k a + a + k a^{2} = 1 + (k + 1) a + k a^{2} \geq 1 + (k + 1) a

car

k a^{2} \geq 0

.

• Conclusion :

(1 + a)^{n} \geq 1 + na

pour tout entier naturel

n

.

Remarque : L'initialisation est indispensable. Sans elle, on pourrait « démontrer » des propriétés fausses.

2. Limite finie ou infinie d'une suite

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

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3. Opérations sur les limites

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

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4. Limites et comparaison

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

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5. Suites majorées, minorées, bornées

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

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6. Comportement à l'infini d'une suite géométrique

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

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7. Limite d'une suite

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8. Opérations sur les limites

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9. Limites et comparaison

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10. Comportement à l'infini des suites géométriques

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11. Les suites arithmético-géométriques

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1. Raisonnement par récurrence

1.1. Principe et définitions

Définition—Propriété héréditaire

On dit qu'une propriété est héréditaire à partir d'un certain rang si : la propriété est vraie pour un entier

k

implique qu'elle est vraie pour l'entier

k + 1

.

Théorème—Principe du raisonnement par récurrence

Si la propriété

P

est :
- vraie au rang

n_{0}

(Initialisation),
- héréditaire à partir du rang

n_{0}

(Hérédité),

alors la propriété

P

est vraie pour tout entier

n \geq n_{0}

.

Remarque : On tente d'utiliser une démonstration par récurrence lorsqu'une démonstration classique n'est pas possible ou est trop difficile.

Démonstration bientôt disponible

Méthode—Démontrer une propriété par récurrence

Exemple : Démontrer que pour tout entier naturel

n

non nul,

2^{n} > n

.

• Initialisation ( $n = 1$ ) :

2^{1} = 2 > 1

✓

• Hérédité : Supposons que pour un certain entier

k \geq 1

, on ait

2^{k} > k

.

Démontrons que

2^{k + 1} > k + 1

:

2^{k} > k ⟹ 2 \times 2^{k} > 2 k ⟹ 2^{k + 1} > 2 k = k + k \geq k + 1 (car k \geq 1)

• Conclusion : La propriété est vraie pour

n = 1

et héréditaire. Par récurrence,

2^{n} > n

pour tout entier

n \geq 1

.

Méthode—Démontrer par récurrence l'expression générale d'une suite

Exemple : Soit

(u_{n})

définie par

u_{n + 1} = u_{n} + 2 n + 3

et

u_{0} = 1

. Démontrer que

u_{n} = (n + 1)^{2}

.

• Initialisation ( $n = 0$ ) :

(0 + 1)^{2} = 1 = u_{0}

✓

• Hérédité : Supposons

u_{k} = (k + 1)^{2}

pour un certain entier

k

.

u_{k + 1} = u_{k} + 2 k + 3 = (k + 1)^{2} + 2 k + 3 = k^{2} + 4 k + 4 = (k + 2)^{2}

• Conclusion : Par récurrence,

u_{n} = (n + 1)^{2}

pour tout entier

n \geq 0

.

Méthode—Démontrer la monotonie par récurrence

Exemple : Soit

(u_{n})

définie par

u_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n} + 2

et

u_{0} = 2

. Démontrer que

(u_{n})

est croissante.

On démontre que

u_{n + 1} \geq u_{n}

pour tout

n

.

• Initialisation :

u_{1} = \frac{1}{2} \times 2 + 2 = 3 > 2 = u_{0}

✓

• Hérédité : Supposons

u_{k + 1} \geq u_{k}

.

u_{k + 1} \geq u_{k} ⟹ \frac{1}{2} u_{k + 1} \geq \frac{1}{2} u_{k} ⟹ \frac{1}{2} u_{k + 1} + 2 \geq \frac{1}{2} u_{k} + 2 ⟹ u_{k + 2} \geq u_{k + 1}

• Conclusion : La suite

(u_{n})

est croissante.

1.2. Inégalité de Bernoulli

Proposition—Inégalité de Bernoulli

Soit

a

un nombre réel positif. Pour tout entier naturel

n

:

(1 + a)^{n} \geq 1 + na

Démonstration (au programme) :

• Initialisation ( $n = 0$ ) :

(1 + a)^{0} = 1 = 1 + 0 \times a

✓

• Hérédité : Supposons

(1 + a)^{k} \geq 1 + k a

. Comme

1 + a > 0

:

(1 + a)^{k + 1} \geq (1 + a) (1 + k a) = 1 + k a + a + k a^{2} = 1 + (k + 1) a + k a^{2} \geq 1 + (k + 1) a

car

k a^{2} \geq 0

.

• Conclusion :

(1 + a)^{n} \geq 1 + na

pour tout entier naturel

n

.

Remarque : L'initialisation est indispensable. Sans elle, on pourrait « démontrer » des propriétés fausses.

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