Les vecteurs

secondegeometrie

Méthodes · BientôtExercices

1. Notion de vecteur

1.1. Définition et propriétés

Définition—Vecteur

Une translation fait glisser une figure selon une direction, un sens et une longueur.

La flèche qui définit la translation s'appelle un vecteur. Un vecteur est défini par :

une direction,
un sens,
une longueur (appelée norme).

Définition—Vecteurs égaux

Des vecteurs sont égaux lorsqu'ils ont la même direction, le même sens et la même longueur.

On dit que

A B

et

C D

sont des représentants d'un même vecteur

u

.

Propriété du parallélogramme :

A B = C D

si et seulement si

A B D C

est un parallélogramme (éventuellement aplati).

Propriété du milieu :

B

est le milieu de

[A C]

si et seulement si

A B = B C

.

Méthode—Utiliser des propriétés sur les vecteurs

A B C D

et

A F B D

sont deux parallélogrammes. Montrons que

B

est le milieu de

[C F]

.

C B = D A

(car

A B C D

est un parallélogramme).

B F = D A

(car

A F B D

est un parallélogramme). Donc

C B = B F

:

B

est le milieu de

[C F]

.

1.2. Vecteur nul et vecteurs opposés

Définition—Vecteur nul

Un vecteur

A B

est nul lorsque

A = B

. On note

A B = 0

.

Pour tout point

M

:

M M = 0

.

2. Somme de vecteurs

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3. Produit d'un vecteur par un réel

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4. Notion de colinéarité

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1. Notion de vecteur

1.1. Définition et propriétés

Définition—Vecteur

Une translation fait glisser une figure selon une direction, un sens et une longueur.

La flèche qui définit la translation s'appelle un vecteur. Un vecteur est défini par :

une direction,
un sens,
une longueur (appelée norme).

Définition—Vecteurs égaux

Des vecteurs sont égaux lorsqu'ils ont la même direction, le même sens et la même longueur.

On dit que

A B

et

C D

sont des représentants d'un même vecteur

u

.

Propriété du parallélogramme :

A B = C D

si et seulement si

A B D C

est un parallélogramme (éventuellement aplati).

Propriété du milieu :

B

est le milieu de

[A C]

si et seulement si

A B = B C

.

Méthode—Utiliser des propriétés sur les vecteurs

A B C D

et

A F B D

sont deux parallélogrammes. Montrons que

B

est le milieu de

[C F]

.

C B = D A

(car

A B C D

est un parallélogramme).

B F = D A

(car

A F B D

est un parallélogramme). Donc

C B = B F

:

B

est le milieu de

[C F]

.

1.2. Vecteur nul et vecteurs opposés

Définition—Vecteur nul

Un vecteur

A B

est nul lorsque

A = B

. On note

A B = 0

.

Pour tout point

M

:

M M = 0

.

2. Somme de vecteurs

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3. Produit d'un vecteur par un réel

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4. Notion de colinéarité

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Définition—Vecteurs opposés

Deux vecteurs sont opposés lorsqu'ils ont la même direction, la même longueur et des sens contraires.

A B

et

B A

sont des vecteurs opposés :

B A = - A B

.