Limites des fonctions

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Méthodes · BientôtExercices

1. Limite d'une fonction à l'infini

1.1. Limite infinie en l'infini

Définition—Limite infinie en

+ \infty

On dit que la fonction

f

admet pour limite

+ \infty

en

+ \infty

si tout intervalle

] a; + \infty [

,

a

réel, contient toutes les valeurs de

f (x)

dès que

x

est suffisamment grand, et on note :

x \to + \infty lim f (x) = + \infty

De même : on dit que

f

admet pour limite

- \infty

en

+ \infty

si tout intervalle

] - \infty; b [

,

b

réel, contient toutes les valeurs de

f (x)

dès que

x

est suffisamment grand.

Remarques :
- Une fonction qui tend vers

+ \infty

lorsque

x

tend vers

+ \infty

n'est pas nécessairement croissante.
- Il existe des fonctions qui ne possèdent pas de limite infinie (ex. fonctions sinusoïdales).

1.2. Limite finie en l'infini — asymptote horizontale

Définition—Limite finie en

+ \infty

On dit que la fonction

f

admet pour limite

L

en

+ \infty

si tout intervalle ouvert contenant

L

contient toutes les valeurs de

f (x)

dès que

x

est suffisamment grand, et on note :

x \to + \infty lim f (x) = L

On a des définitions analogues en

- \infty

.

Exemple : La fonction

f (x) = 2 + \frac{1}{x}

a pour limite

2

lorsque

x

tend vers

+ \infty

.

1.3. Limites des fonctions de référence

Proposition—Limites usuelles

x \to + \infty lim x^{2} = + \infty, x \to - \infty lim x^{2} = + \infty

x \to + \infty lim x^{3} = + \infty, x \to - \infty lim x^{3} = - \infty

x \to + \infty lim x^{n} = + \infty, x \to - \infty lim x^{n} = + \infty (n pair), x \to - \infty lim x^{n} = - \infty (n impair)

x \to + \infty lim x = + \infty

x \to + \infty lim \frac{1}{x} = 0, x \to - \infty lim \frac{1}{x} = 0

x \to + \infty lim e^{x} = + \infty, x \to - \infty lim e^{x} = 0

2. Limite d'une fonction en un réel

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3. Opérations sur les limites

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4. Limite d'une fonction composée

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5. Limites et comparaisons

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6. Cas de la fonction exponentielle

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7. Limite d'une fonction à l'infini

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8. Limite d'une fonction en un réel

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9. Opérations sur les limites

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10. Composition et comparaison

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1. Limite d'une fonction à l'infini

1.1. Limite infinie en l'infini

Définition—Limite infinie en

+ \infty

On dit que la fonction

f

admet pour limite

+ \infty

en

+ \infty

si tout intervalle

] a; + \infty [

,

a

réel, contient toutes les valeurs de

f (x)

dès que

x

est suffisamment grand, et on note :

x \to + \infty lim f (x) = + \infty

De même : on dit que

f

admet pour limite

- \infty

en

+ \infty

si tout intervalle

] - \infty; b [

,

b

réel, contient toutes les valeurs de

f (x)

dès que

x

est suffisamment grand.

Remarques :
- Une fonction qui tend vers

+ \infty

lorsque

x

tend vers

+ \infty

n'est pas nécessairement croissante.
- Il existe des fonctions qui ne possèdent pas de limite infinie (ex. fonctions sinusoïdales).

1.2. Limite finie en l'infini — asymptote horizontale

Définition—Limite finie en

+ \infty

On dit que la fonction

f

admet pour limite

L

en

+ \infty

si tout intervalle ouvert contenant

L

contient toutes les valeurs de

f (x)

dès que

x

est suffisamment grand, et on note :

x \to + \infty lim f (x) = L

On a des définitions analogues en

- \infty

.

Exemple : La fonction

f (x) = 2 + \frac{1}{x}

a pour limite

2

lorsque

x

tend vers

+ \infty

.

1.3. Limites des fonctions de référence

Proposition—Limites usuelles

x \to + \infty lim x^{2} = + \infty, x \to - \infty lim x^{2} = + \infty

x \to + \infty lim x^{3} = + \infty, x \to - \infty lim x^{3} = - \infty

x \to + \infty lim x^{n} = + \infty, x \to - \infty lim x^{n} = + \infty (n pair), x \to - \infty lim x^{n} = - \infty (n impair)

x \to + \infty lim x = + \infty

x \to + \infty lim \frac{1}{x} = 0, x \to - \infty lim \frac{1}{x} = 0

x \to + \infty lim e^{x} = + \infty, x \to - \infty lim e^{x} = 0

2. Limite d'une fonction en un réel

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3. Opérations sur les limites

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4. Limite d'une fonction composée

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5. Limites et comparaisons

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6. Cas de la fonction exponentielle

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7. Limite d'une fonction à l'infini

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8. Limite d'une fonction en un réel

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9. Opérations sur les limites

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10. Composition et comparaison

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Définition—Asymptote horizontale

Si

x \to + \infty lim f (x) = L

, la droite d'équation

y = L

est appelée asymptote horizontale à la courbe de la fonction

f

en

+ \infty

.

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