Loi des grands nombres

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Méthodes · BientôtExercices

1. Somme de variables aléatoires

1.1. Loi de probabilité de la somme

Définition—Variable aléatoire somme

Soit

X

et

Y

deux variables aléatoires. La loi de probabilité de la variable aléatoire somme

X + Y

est donnée par :

P (X + Y = k) = i + j = k \sum P ((X = i) \cap (Y = j))

Si

X

et

Y

sont indépendantes, alors :

P (X + Y = k) = i + j = k \sum P (X = i) \times P (Y = j)

Méthode—Déterminer la loi d'une somme de variables aléatoires indépendantes

Exemple : Jeu en deux parties.

X

= gain en 1re partie (pièce) :

P (X = 1) = P (X = 2) = \frac{1}{2}

.

Y

= gain en 2e partie (dé) :

P (Y = - 5) = \frac{1}{6}

,

P (Y = 1) = \frac{1}{2}

,

P (Y = 2) = \frac{1}{3}

.

On calcule les probabilités de

S = X + Y

:

P (S = - 4) = P (X = 1) \times P (Y = - 5) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12}

P (S = - 3) = P (X = 2) \times P (Y = - 5) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12}

P (S = 2) = P (X = 1) \times P (Y = 1) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

P (S = 3) = P (X = 1) \times P (Y = 2) + P (X = 2) \times P (Y = 1) = \frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{5}{12}

P (S = 4) = P (X = 2) \times P (Y = 2) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}

2. Espérance et variance de combinaisons linéaires

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

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3. Application à la loi binomiale

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

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4. Moyenne d'un échantillon

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

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5. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

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6. Inégalité de concentration

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7. Loi des grands nombres

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1. Somme de variables aléatoires

1.1. Loi de probabilité de la somme

Définition—Variable aléatoire somme

Soit

X

et

Y

deux variables aléatoires. La loi de probabilité de la variable aléatoire somme

X + Y

est donnée par :

P (X + Y = k) = i + j = k \sum P ((X = i) \cap (Y = j))

Si

X

et

Y

sont indépendantes, alors :

P (X + Y = k) = i + j = k \sum P (X = i) \times P (Y = j)

Méthode—Déterminer la loi d'une somme de variables aléatoires indépendantes

Exemple : Jeu en deux parties.

X

= gain en 1re partie (pièce) :

P (X = 1) = P (X = 2) = \frac{1}{2}

.

Y

= gain en 2e partie (dé) :

P (Y = - 5) = \frac{1}{6}

,

P (Y = 1) = \frac{1}{2}

,

P (Y = 2) = \frac{1}{3}

.

On calcule les probabilités de

S = X + Y

:

P (S = - 4) = P (X = 1) \times P (Y = - 5) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12}

P (S = - 3) = P (X = 2) \times P (Y = - 5) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12}

P (S = 2) = P (X = 1) \times P (Y = 1) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

P (S = 3) = P (X = 1) \times P (Y = 2) + P (X = 2) \times P (Y = 1) = \frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{5}{12}

P (S = 4) = P (X = 2) \times P (Y = 2) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}

2. Espérance et variance de combinaisons linéaires

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3. Application à la loi binomiale

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