The Maths Tailor

THE MATHS TAILOR

1. Loi de probabilité à densité

1.1. Rappel : variables aléatoires discrètes

Exemple—Variable aléatoire discrète

On lance un dé à six faces. L'univers des possibles est

Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

. On définit la variable aléatoire

X

par :

Si le résultat est pair, on gagne $1$ €.
Si le résultat est $1$ , on gagne $5$ €.
Si le résultat est $3$ ou $5$ , on perd $2$ €.

Donc :

X (1) = 5

X (2) = 1

X (3) = - 2

X (4) = 1

X (5) = - 2

X (6) = 1

.

La loi de probabilité peut être résumée dans un tableau :

x_{i} P (X = x_{i}) - 2 \frac{1}{3} 1 \frac{1}{2} 5 \frac{1}{6}

La variable aléatoire ne prend qu'un nombre fini de valeurs : elle est dite discrète.

Remarque

Il existe des variables aléatoires qui prennent n'importe quelle valeur dans un intervalle de

R

1.2. Variables aléatoires continues

Définition—Variable aléatoire continue

Une variable aléatoire est dite continue si elle peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle de

R

Exemple

Une entreprise fabrique des disques durs. On définit une variable aléatoire qui, à chaque disque dur, associe sa durée de vie en heures. Cette durée peut prendre toutes les valeurs de

[0; + \infty [

1.3. Fonction de densité

Définition—Fonction de densité (densité de probabilité)

On appelle fonction de densité (ou densité) toute fonction

f

définie, continue et positive sur un intervalle

I

R

telle que :

\int_{I} f (t) d t = 1

X

est une variable aléatoire continue sur

[a; b]

, la probabilité de l'événement

{X \in [a; b]}

, où

[a; b]

est un sous-intervalle de

I

, est :

P (X \in [a; b]) = \int_{a}^{b} f (t) d t

cette probabilité est l'aire sous la courbe de

f

sur

[a; b]

1.4. Fonction de répartition

Définition—Fonction de répartition

Soit

X

une variable aléatoire continue de fonction de densité

f

sur un intervalle

[a; b]

. Alors, pour tout

x

[a; b]

P (X \leq x) = \int_{a}^{x} f (t) d t

La fonction définie sur

[a; b]

par

x \mapsto P (X \leq x)

est appelée fonction de répartition de

X

1.5. Espérance et variance

Définition—Espérance et variance d'une variable aléatoire continue

Soit

X

une variable aléatoire continue de fonction de densité

f

sur un intervalle

[a; b]

L'espérance mathématique de $X$ est : $E (X) = \int_{a}^{b} t f (t) d t$
La variance de $X$ est : $V (X) = \int_{a}^{b} (t - E (X))^{2} f (t) d t$

1. Loi de probabilité à densité

1.1. Rappel : variables aléatoires discrètes

Exemple—Variable aléatoire discrète

On lance un dé à six faces. L'univers des possibles est

Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

. On définit la variable aléatoire

X

par :

Si le résultat est pair, on gagne $1$ €.
Si le résultat est $1$ , on gagne $5$ €.
Si le résultat est $3$ ou $5$ , on perd $2$ €.

Donc :

X (1) = 5

X (2) = 1

X (3) = - 2

X (4) = 1

X (5) = - 2

X (6) = 1

.

La loi de probabilité peut être résumée dans un tableau :

x_{i} P (X = x_{i}) - 2 \frac{1}{3} 1 \frac{1}{2} 5 \frac{1}{6}

La variable aléatoire ne prend qu'un nombre fini de valeurs : elle est dite discrète.

Remarque

Il existe des variables aléatoires qui prennent n'importe quelle valeur dans un intervalle de

R

1.2. Variables aléatoires continues

Définition—Variable aléatoire continue

Une variable aléatoire est dite continue si elle peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle de

R

Exemple

Une entreprise fabrique des disques durs. On définit une variable aléatoire qui, à chaque disque dur, associe sa durée de vie en heures. Cette durée peut prendre toutes les valeurs de

[0; + \infty [

1.3. Fonction de densité

Définition—Fonction de densité (densité de probabilité)

On appelle fonction de densité (ou densité) toute fonction

f

définie, continue et positive sur un intervalle

I

R

telle que :

\int_{I} f (t) d t = 1

X

est une variable aléatoire continue sur

[a; b]

, la probabilité de l'événement

{X \in [a; b]}

, où

[a; b]

est un sous-intervalle de

I

, est :

P (X \in [a; b]) = \int_{a}^{b} f (t) d t

cette probabilité est l'aire sous la courbe de

f

sur

[a; b]

1.4. Fonction de répartition

Définition—Fonction de répartition

Soit

X

une variable aléatoire continue de fonction de densité

f

sur un intervalle

[a; b]

. Alors, pour tout

x

[a; b]

P (X \leq x) = \int_{a}^{x} f (t) d t

La fonction définie sur

[a; b]

par

x \mapsto P (X \leq x)

est appelée fonction de répartition de

X

1.5. Espérance et variance

Définition—Espérance et variance d'une variable aléatoire continue

Soit

X

une variable aléatoire continue de fonction de densité

f

sur un intervalle

[a; b]

L'espérance mathématique de $X$ est : $E (X) = \int_{a}^{b} t f (t) d t$
La variance de $X$ est : $V (X) = \int_{a}^{b} (t - E (X))^{2} f (t) d t$

Lois à densité

1. Loi de probabilité à densité

1.1. Rappel : variables aléatoires discrètes

1.2. Variables aléatoires continues

1.3. Fonction de densité

1.4. Fonction de répartition

1.5. Espérance et variance

1. Loi de probabilité à densité

1.1. Rappel : variables aléatoires discrètes

1.2. Variables aléatoires continues

1.3. Fonction de densité

1.4. Fonction de répartition

1.5. Espérance et variance