Lois discrètes

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Méthodes · BientôtExercices

1. Loi uniforme discrète

1.1. Définition et espérance

Exemple

1) On lance un dé et on appelle

X

le résultat. Alors

P (X = 1) = P (X = 2) = \dots = P (X = 6) = \frac{1}{6}

. On dit que

X

suit une loi uniforme sur

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

.

2) On lance une pièce de monnaie. La probabilité d'obtenir pile est égale à la probabilité d'obtenir face, toutes deux égales à

\frac{1}{2}

.

X

suit également une loi uniforme.

Définition—Loi uniforme discrète

On dit que

X

suit une loi uniforme discrète sur l'ensemble

{1, \dots, n}

si pour tout entier

i

de

{1, \dots, n}

:

P (X = i) = \frac{1}{n}

Proposition—Espérance de la loi uniforme discrète

Soit

X

une variable aléatoire qui suit la loi uniforme discrète de paramètre

n

. Alors :

E (X) = \frac{n + 1}{2}

Démonstration :

E (X) = 1 \times \frac{1}{n} + 2 \times \frac{1}{n} + \dots + n \times \frac{1}{n} = (1 + 2 + \dots + n) \times \frac{1}{n} = \frac{n ( n + 1 )}{2} \times \frac{1}{n} = \frac{n + 1}{2}

2. Répétition d'expériences indépendantes

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

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3. Épreuve de Bernoulli

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4. Schéma de Bernoulli et loi binomiale

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

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5. Coefficients binomiaux

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6. Application à la loi binomiale

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7. Loi géométrique

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1. Loi uniforme discrète

1.1. Définition et espérance

Exemple

1) On lance un dé et on appelle

X

le résultat. Alors

P (X = 1) = P (X = 2) = \dots = P (X = 6) = \frac{1}{6}

. On dit que

X

suit une loi uniforme sur

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

.

2) On lance une pièce de monnaie. La probabilité d'obtenir pile est égale à la probabilité d'obtenir face, toutes deux égales à

\frac{1}{2}

.

X

suit également une loi uniforme.

Définition—Loi uniforme discrète

On dit que

X

suit une loi uniforme discrète sur l'ensemble

{1, \dots, n}

si pour tout entier

i

de

{1, \dots, n}

:

P (X = i) = \frac{1}{n}

Proposition—Espérance de la loi uniforme discrète

Soit

X

une variable aléatoire qui suit la loi uniforme discrète de paramètre

n

. Alors :

E (X) = \frac{n + 1}{2}

Démonstration :

E (X) = 1 \times \frac{1}{n} + 2 \times \frac{1}{n} + \dots + n \times \frac{1}{n} = (1 + 2 + \dots + n) \times \frac{1}{n} = \frac{n ( n + 1 )}{2} \times \frac{1}{n} = \frac{n + 1}{2}

2. Répétition d'expériences indépendantes

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4. Schéma de Bernoulli et loi binomiale

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