Matrices

SUPalgebre

1. Matrices à coefficients dans $K$

1.1. Définition

Définition—Matrice

On appelle matrice à coefficients dans $K$ à $n$ lignes et $p$ colonnes ou matrice à coefficients dans $K$ de taille $n \times p$ toute famille d'éléments de

K

indexée sur

[[1, n]] \times [[1, p]]

i.e. toute famille d'éléments de

K

du type

(a_{i, j})_{1 \leq i \leq n 1 \leq j \leq p}

.

Remarque

Une matrice de taille

n \times p

est généralement représentée sous forme d'un tableau à

n

lignes et

p

colonnes. L'élément

a_{i, j}

est placé sur la

i

-ème ligne et sur la

j

-ème colonne.

Définition—Ensembles de matrices

On note

M_{n, p} (K)

l'ensemble des matrices à coefficients dans

K

de taille

n \times p

.

Lorsque

n = p

, cet ensemble est plus simplement noté

M_{n} (K)

. On parle alors de matrices carrées de taille $n$ .

Lorsque

p = 1

, on parle de matrices colonnes de taille $n$ .

Lorsque

n = 1

, on parle de matrices lignes de taille $p$ .

Remarque

Les appellations «matrices carrées», «matrices colonnes» et «matrices lignes» proviennent bien évidemment de la forme des tableaux représentant ces matrices dans les cas

n = p

,

p = 1

et

n = 1

.

1.2. Structure de $K$ -espace vectoriel

Proposition—Structure de

K

-espace vectoriel de

M_{n, p} (K)

M_{n, p} (K)

est un

K

-espace vectoriel.

1.3. Produit matriciel

Définition—Produit matriciel

Soient

A = (a_{i, j})_{1 \leq i \leq n 1 \leq j \leq p} \in M_{n, p} (K)

et

B = (b_{i, j})_{1 \leq i \leq p 1 \leq j \leq q} \in M_{p, q} (K)

. On définit le produit

A B

comme la matrice

C = (c_{i, j})_{1 \leq i \leq n 1 \leq j \leq q} \in M_{n, q} (K)

telle que :

\forall (i, j) \in [[1, n]] \times [[1, q]], c_{i, j} = k = 1 \sum p a_{i, k} b_{k, j}

1.4. Transposition

Définition—Transposée

Soit

A = (a_{i, j})_{1 \leq i \leq n 1 \leq j \leq p} \in M_{n, p} (K)

. On appelle transposée de $A$ la matrice

(a_{j, i})_{1 \leq i \leq p 1 \leq j \leq n} \in M_{p, n} (K)

, notée

A^{⊤}

.

1.5. Matrices définies par blocs

Encadré—Matrices définies par blocs

Soient

A \in M_{n, q} (K)

,

B \in M_{p, q} (K)

,

C \in M_{n, r} (K)

et

D \in M_{p, r} (K)

. On peut définir une matrice

M \in M_{n + p, q + r} (K)

à l'aide de ces quatre matrices de la façon suivante :

M = (A B C D)

2. Opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes d'une matrice

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

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3. L'anneau $M_{n} (K)$

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

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4. Représentation matricielle des vecteurs et des applications linéaires

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

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5. Noyau, image et rang d'une matrice

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

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6. Changements de bases, équivalence et similitude

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

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7. Systèmes linéaires

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1. Matrices à coefficients dans $K$

1.1. Définition

Définition—Matrice

On appelle matrice à coefficients dans $K$ à $n$ lignes et $p$ colonnes ou matrice à coefficients dans $K$ de taille $n \times p$ toute famille d'éléments de

K

indexée sur

[[1, n]] \times [[1, p]]

i.e. toute famille d'éléments de

K

du type

(a_{i, j})_{1 \leq i \leq n 1 \leq j \leq p}

.

Remarque

Une matrice de taille

n \times p

est généralement représentée sous forme d'un tableau à

n

lignes et

p

colonnes. L'élément

a_{i, j}

est placé sur la

i

-ème ligne et sur la

j

-ème colonne.

Définition—Ensembles de matrices

On note

M_{n, p} (K)

l'ensemble des matrices à coefficients dans

K

de taille

n \times p

.

Lorsque

n = p

, cet ensemble est plus simplement noté

M_{n} (K)

. On parle alors de matrices carrées de taille $n$ .

Lorsque

p = 1

, on parle de matrices colonnes de taille $n$ .

Lorsque

n = 1

, on parle de matrices lignes de taille $p$ .

Remarque

Les appellations «matrices carrées», «matrices colonnes» et «matrices lignes» proviennent bien évidemment de la forme des tableaux représentant ces matrices dans les cas

n = p

,

p = 1

et

n = 1

.

1.2. Structure de $K$ -espace vectoriel

Proposition—Structure de

K

-espace vectoriel de

M_{n, p} (K)

M_{n, p} (K)

est un

K

-espace vectoriel.

1.3. Produit matriciel

Définition—Produit matriciel

Soient

A = (a_{i, j})_{1 \leq i \leq n 1 \leq j \leq p} \in M_{n, p} (K)

et

B = (b_{i, j})_{1 \leq i \leq p 1 \leq j \leq q} \in M_{p, q} (K)

. On définit le produit

A B

comme la matrice

C = (c_{i, j})_{1 \leq i \leq n 1 \leq j \leq q} \in M_{n, q} (K)

telle que :

\forall (i, j) \in [[1, n]] \times [[1, q]], c_{i, j} = k = 1 \sum p a_{i, k} b_{k, j}

1.4. Transposition

Définition—Transposée

Soit

A = (a_{i, j})_{1 \leq i \leq n 1 \leq j \leq p} \in M_{n, p} (K)

. On appelle transposée de $A$ la matrice

(a_{j, i})_{1 \leq i \leq p 1 \leq j \leq n} \in M_{p, n} (K)

, notée

A^{⊤}

.

1.5. Matrices définies par blocs

Encadré—Matrices définies par blocs

Soient

A \in M_{n, q} (K)

,

B \in M_{p, q} (K)

,

C \in M_{n, r} (K)

et

D \in M_{p, r} (K)

. On peut définir une matrice

M \in M_{n + p, q + r} (K)

à l'aide de ces quatre matrices de la façon suivante :

M = (A B C D)

2. Opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes d'une matrice

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3. L'anneau $M_{n} (K)$

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4. Représentation matricielle des vecteurs et des applications linéaires

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7. Systèmes linéaires

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Démonstration

D'après la Définition 1.1,

M_{n, p} (K)

est l'ensemble des familles

(a_{i, j})_{1 \leq i \leq n 1 \leq j \leq p}

d'éléments de

K

, indexées sur

[[1, n]] \times [[1, p]]

.

C'est donc exactement l'ensemble des applications de

[[1, n]] \times [[1, p]]

dans

K

, soit

K^{[[1, n]] \times [[1, p]]}

.

Or, pour tout ensemble fini

I

, l'ensemble

K^{I}

des applications de

I

dans

K

est un

K

-espace vectoriel pour les opérations d'addition et de multiplication scalaire définies coordonnée par coordonnée. En particulier, pour

(A, B) \in M_{n, p} (K)^{2}

et

λ \in K

:

A + B = (a_{i, j} + b_{i, j})_{1 \leq i \leq n 1 \leq j \leq p}, λ \cdot A = (λ a_{i, j})_{1 \leq i \leq n 1 \leq j \leq p}

Ces opérations vérifient bien les axiomes d'un

K

-espace vectoriel (associativité, commutativité de

+

, élément neutre la matrice nulle, opposé

- A = (- a_{i, j})

, distributivité des scalaires). Donc

M_{n, p} (K)

est un

K

-espace vectoriel.

Remarque

Le vecteur nul de

M_{n, p} (K)

est la matrice nulle i.e. le tableau à

n

lignes et

p

colonnes rempli de zéros.

Définition—Base canonique de

M_{n, p} (K)

Pour

(i, j) \in [[1, n]] \times [[1, p]]

, on note

E_{i, j}

la matrice de

M_{n, p} (K)

dont tous les coefficients sont nuls à l'exception de celui de la

i

-ème ligne et de la

j

-ème colonne qui vaut 1.

La famille

(E_{i, j})_{1 \leq i \leq n 1 \leq j \leq p}

est une base de

M_{n, p} (K)

appelée base canonique de $M_{n, p} (K)$ .

La dimension de

M_{n, p} (K)

est donc

n p

.

Attention

On ne multiplie que des matrices de taille compatible, c'est-à-dire que l'on multiplie une matrice à

p

colonnes par une matrice à

p

lignes.

Attention

Le produit matriciel n'est pas commutatif. En effet, si le produit

A B

est bien défini, le produit

B A

ne l'est généralement pas pour des raisons de non compatibilité de taille. Quand bien même il serait défini, on n'a généralement pas

B A = A B

.

Proposition—Propriétés du produit matriciel

• Le produit matriciel est bilinéaire :

\forall (λ, μ) \in K^{2}, \forall (A, B) \in M_{n, p} (K)^{2}, \forall C \in M_{p, q} (K), (λ A + μ B) C = λ A C + μ B C

\forall (λ, μ) \in K^{2}, \forall A \in M_{n, p} (K), \forall (B, C) \in M_{p, q} (K)^{2}, A (λ B + μ C) = λ A B + μ A C

• Le produit matriciel est associatif :

\forall A \in M_{n, p} (K), \forall B \in M_{p, q} (K), \forall C \in M_{q, r} (K), A (B C) = (A B) C

Démonstration

Bilinéarité — linéarité à gauche. Soient

(λ, μ) \in K^{2}

,

(A, B) \in M_{n, p} (K)^{2}

et

C \in M_{p, q} (K)

. Notons

A = (a_{i, k})

,

B = (b_{i, k})

,

C = (c_{k, j})

. Par la Définition 1.4, le coefficient

(i, j)

de

(λ A + μ B) C

est :

k = 1 \sum p (λ a_{i, k} + μ b_{i, k}) c_{k, j} = λ k = 1 \sum p a_{i, k} c_{k, j} + μ k = 1 \sum p b_{i, k} c_{k, j}

ce qui est le coefficient

(i, j)

de

λ A C + μ B C

. Donc

(λ A + μ B) C = λ A C + μ B C

.

La linéarité à droite se démontre de façon analogue.

Associativité. Soient

A \in M_{n, p} (K)

,

B \in M_{p, q} (K)

et

C \in M_{q, r} (K)

. Le coefficient

(i, j)

de

A (B C)

est, par la Définition 1.4 :

k = 1 \sum p a_{i, k} (B C)_{k, j} = k = 1 \sum p a_{i, k} (l = 1 \sum q b_{k, l} c_{l, j}) = k = 1 \sum p l = 1 \sum q a_{i, k} b_{k, l} c_{l, j}

Le coefficient

(i, j)

de

(A B) C

est :

l = 1 \sum q (A B)_{i, l} c_{l, j} = l = 1 \sum q (k = 1 \sum p a_{i, k} b_{k, l}) c_{l, j} = l = 1 \sum q k = 1 \sum p a_{i, k} b_{k, l} c_{l, j}

Les deux sommes doubles sont égales (permutation de l'ordre de sommation dans une somme finie). Donc

A (B C) = (A B) C

.

Application

Soit

(E_{i, j})_{1 \leq i, j \leq n}

la base canonique de

M_{n} (K)

. Montrer que pour tout

(i, j, k, l) \in M_{n} (K)^{4}

,

E_{i, j} E_{k, l} = δ_{j, k} E_{i, l}

.

Correction

Soient

(i, j, k, l) \in [[1, n]]^{4}

. On calcule le produit

E_{i, j} E_{k, l}

en utilisant la Définition 1.4 du produit matriciel.

Par la Définition 1.3, le coefficient

(a, b)

de

E_{i, j}

vaut

δ_{a, i} δ_{b, j}

, et le coefficient

(c, d)

de

E_{k, l}

vaut

δ_{c, k} δ_{d, l}

.

Le coefficient

(a, b)

du produit

E_{i, j} E_{k, l}

est, par la Définition 1.4 :

m = 1 \sum n (E_{i, j})_{a, m} (E_{k, l})_{m, b} = m = 1 \sum n δ_{a, i} δ_{m, j} δ_{m, k} δ_{b, l}

Dans cette somme, le terme non nul existe seulement si

m = j

et

m = k

simultanément, c'est-à-dire si

j = k

. On distingue deux cas :

Cas 1 : $j \neq = k$ . Alors

δ_{m, j} δ_{m, k} = 0

pour tout

m

, donc la somme vaut

0

. Le produit

E_{i, j} E_{k, l} = 0 = δ_{j, k} \cdot 0

.

Cas 2 : $j = k$ . La somme se réduit au terme

m = j = k

:

δ_{a, i} δ_{j, j} δ_{j, k} δ_{b, l} = δ_{a, i} \cdot 1 \cdot 1 \cdot δ_{b, l} = δ_{a, i} δ_{b, l}

Or le coefficient

(a, b)

de

E_{i, l}

est

δ_{a, i} δ_{b, l}

(par la Définition 1.3). Donc

E_{i, j} E_{k, l} = E_{i, l}

.

En résumé, pour tous

(i, j, k, l) \in [[1, n]]^{4}

:

E_{i, j} E_{k, l} = δ_{j, k} E_{i, l}

Remarques

Concrètement, l'opération de transposition échange les lignes et les colonnes des matrices.

La transposée d'une matrice carrée est une matrice carrée de même taille.

Dans certains ouvrages, la transposée d'une matrice

A

est également notée

^{t} A

.

Proposition—Propriétés de la transposition

• La transposition est linéaire :

\forall (λ, μ) \in K^{2}, \forall (A, B) \in M_{n, p} (K)^{2}, (λ A + μ B)^{⊤} = λ A^{⊤} + μ B^{⊤}

• La transposition est involutive :

\forall A \in M_{n, p} (K), (A^{⊤})^{⊤} = A

• Transposée d'un produit :

\forall (A, B) \in M_{n, p} (K) \times M_{p, q} (K), (A B)^{⊤} = B^{⊤} A^{⊤}

Démonstration

Soient

A = (a_{i, j})_{1 \leq i \leq n 1 \leq j \leq p}

et

B = (b_{i, j})_{1 \leq i \leq n 1 \leq j \leq p}

deux matrices de

M_{n, p} (K)

, et

λ, μ \in K

.

Linéarité. Par la Définition 1.5, le coefficient

(i, j)

de

(λ A + μ B)^{⊤}

est le coefficient

(j, i)

de

λ A + μ B

, soit

λ a_{j, i} + μ b_{j, i}

. C'est aussi le coefficient

(i, j)

de

λ A^{⊤} + μ B^{⊤}

. Donc

(λ A + μ B)^{⊤} = λ A^{⊤} + μ B^{⊤}

.

Involutivité. Le coefficient

(i, j)

de

(A^{⊤})^{⊤}

est le coefficient

(j, i)

de

A^{⊤}

, c'est-à-dire le coefficient

(i, j)

de

A

. Donc

(A^{⊤})^{⊤} = A

.

Transposée d'un produit. Soient

A \in M_{n, p} (K)

et

B \in M_{p, q} (K)

. Par la Définition 1.4 et la Définition 1.5, le coefficient

(i, j)

de

(A B)^{⊤}

est le coefficient

(j, i)

de

A B

, soit

k = 1 \sum p a_{j, k} b_{k, i}

. D'autre part, le coefficient

(i, j)

de

B^{⊤} A^{⊤}

est

k = 1 \sum p (B^{⊤})_{i, k} (A^{⊤})_{k, j} = k = 1 \sum p b_{k, i} a_{j, k}

. Ces deux expressions sont égales. Donc

(A B)^{⊤} = B^{⊤} A^{⊤}

.

Encadré—Produit de matrices définies par blocs

Le produit de deux matrices définies par blocs s'effectue de la manière suivante :

(A B C D) (E F G H) = (A E + C F B E + D F A G + C H B G + D H)

Attention

Il faut bien évidemment que les différentes matrices soient de taille compatible :
• le nombre de colonnes de

A

et

B

doit être le nombre de lignes de

E

et

G

;
• le nombre de colonnes de

C

et

D

doit être le nombre de lignes de

F

et

H

.

Remarque

La transposée de la matrice

(A B C D)

est la matrice

(A^{⊤} C^{⊤} B^{⊤} D^{⊤})

.

Matrices

1. Matrices à coefficients dans K

1.1. Définition

1.2. Structure de K-espace vectoriel

1.3. Produit matriciel

1.4. Transposition

1.5. Matrices définies par blocs

1. Matrices à coefficients dans K

1.1. Définition

1.2. Structure de K-espace vectoriel

1.3. Produit matriciel

1.4. Transposition

1.5. Matrices définies par blocs

1. Matrices à coefficients dans $K$

1.2. Structure de $K$ -espace vectoriel

1. Matrices à coefficients dans $K$

1.2. Structure de $K$ -espace vectoriel