Orthogonalité dans l'espace

terminalegeometrie

Méthodes · BientôtExercices

1. Produit scalaire dans l'espace

1.1. Définition et propriétés géométriques

Définition—Produit scalaire dans l'espace

Soient

u

et

v

deux vecteurs de l'espace et

θ

l'angle entre ces deux vecteurs (

θ \in [0; π]

). On appelle produit scalaire de $u$ et $v$ le réel noté

u \cdot v

défini par :

u \cdot v = ∥ u ∥ \times ∥ v ∥ \times cos θ

Si l'un des vecteurs est le vecteur nul, alors

u \cdot v = 0

.

Proposition—Propriétés du produit scalaire

Pour tous vecteurs

u

,

v

,

w

et tout réel

k

:

$u \cdot v = v \cdot u$ (symétrie)
$u \cdot (v + w) = u \cdot v + u \cdot w$ (distributivité)
$(k u) \cdot v = k (u \cdot v)$
$u \cdot u = ∥ u ∥^{2} \geq 0$ , et $u \cdot u = 0 ⟺ u = 0$

Proposition—Expressions remarquables

Pour tous vecteurs

u

et

v

:

u \cdot v = \frac{∥ u + v ∥ ^{2} - ∥ u ∥ ^{2} - ∥ v ∥ ^{2}}{2} = \frac{∥ u ∥ ^{2} + ∥ v ∥ ^{2} - ∥ u - v ∥ ^{2}}{2}

En particulier (identités remarquables) :

∥ u + v ∥^{2} = ∥ u ∥^{2} + 2 u \cdot v + ∥ v ∥^{2}

∥ u - v ∥^{2} = ∥ u ∥^{2} - 2 u \cdot v + ∥ v ∥^{2}

(u + v) \cdot (u - v) = ∥ u ∥^{2} - ∥ v ∥^{2}

1.2. Calcul dans un repère orthonormé

Proposition—Produit scalaire en coordonnées

Dans un repère orthonormé, si

u x y z

et

v x^{'} y^{'} z^{'}

, alors :

u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}

En particulier :

∥ u ∥^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2}

, donc

∥ u ∥ = x^{2} + y^{2} + z^{2}

.

2. Orthogonalité dans l'espace

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

Voir les offres

3. Vecteur normal à un plan

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

Voir les offres

1. Produit scalaire dans l'espace

1.1. Définition et propriétés géométriques

Définition—Produit scalaire dans l'espace

Soient

u

et

v

deux vecteurs de l'espace et

θ

l'angle entre ces deux vecteurs (

θ \in [0; π]

). On appelle produit scalaire de $u$ et $v$ le réel noté

u \cdot v

défini par :

u \cdot v = ∥ u ∥ \times ∥ v ∥ \times cos θ

Si l'un des vecteurs est le vecteur nul, alors

u \cdot v = 0

.

Proposition—Propriétés du produit scalaire

Pour tous vecteurs

u

,

v

,

w

et tout réel

k

:

$u \cdot v = v \cdot u$ (symétrie)
$u \cdot (v + w) = u \cdot v + u \cdot w$ (distributivité)
$(k u) \cdot v = k (u \cdot v)$
$u \cdot u = ∥ u ∥^{2} \geq 0$ , et $u \cdot u = 0 ⟺ u = 0$

Proposition—Expressions remarquables

Pour tous vecteurs

u

et

v

:

u \cdot v = \frac{∥ u + v ∥ ^{2} - ∥ u ∥ ^{2} - ∥ v ∥ ^{2}}{2} = \frac{∥ u ∥ ^{2} + ∥ v ∥ ^{2} - ∥ u - v ∥ ^{2}}{2}

En particulier (identités remarquables) :

∥ u + v ∥^{2} = ∥ u ∥^{2} + 2 u \cdot v + ∥ v ∥^{2}

∥ u - v ∥^{2} = ∥ u ∥^{2} - 2 u \cdot v + ∥ v ∥^{2}

(u + v) \cdot (u - v) = ∥ u ∥^{2} - ∥ v ∥^{2}

1.2. Calcul dans un repère orthonormé

Proposition—Produit scalaire en coordonnées

Dans un repère orthonormé, si

u x y z

et

v x^{'} y^{'} z^{'}

, alors :

u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}

En particulier :

∥ u ∥^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2}

, donc

∥ u ∥ = x^{2} + y^{2} + z^{2}

.

2. Orthogonalité dans l'espace

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

Voir les offres

3. Vecteur normal à un plan

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

Voir les offres

Démonstration bientôt disponible

Proposition—Distance entre deux points

Si

A (x_{A}; y_{A}; z_{A})

et

B (x_{B}; y_{B}; z_{B})

, alors :

A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}

Démonstration bientôt disponible

Méthode—Calculer un produit scalaire et un angle

Soient

A (2; 1; - 1)

,

B (0; 3; 2)

,

C (- 1; 0; 1)

.

A B = - 2 23

,

A C = - 3 - 1 2

.

A B \cdot A C = (- 2) (- 3) + (2) (- 1) + (3) (2) = 6 - 2 + 6 = 10

∥ A B ∥ = 4 + 4 + 9 = 17

,

∥ A C ∥ = 9 + 1 + 4 = 14

.

cos (B A C) = \frac{10}{17 \times 14} = \frac{10}{238}