Soit f une fonction continue sur un intervalle I. On appelle primitive de f une fonction F telle que F′=f.
Exemple : Si f(x)=2x+3 et F(x)=x2+3x−1, alors F′(x)=2x+3=f(x), donc F est une primitive de f.
Remarque : Dire que F est une primitive de f revient à dire que f est la dérivée de F.
Proposition—Unicité à une constante près
Deux primitives d'une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d'une constante.
Démonstration au programme : Soit F et G deux primitives de f sur I. Alors F′(x)=G′(x)=f(x), donc (F−G)′(x)=0. La fonction F−G a une dérivée nulle sur I, elle est donc constante. On note C cette constante : F(x)−G(x)=C pour tout x∈I.
Proposition—Existence de primitives
Si F est une primitive de f alors pour tout réel C, la fonction x↦F(x)+C est aussi une primitive de f.
Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle (démontré dans le chapitre Intégration).
Remarque : L'existence est assurée, mais la forme explicite n'est pas toujours connue. Par exemple, x↦e−x2 n'a pas de primitive sous forme explicite.
Méthode—Vérifier qu'une fonction est une primitive
Dans chaque cas, dire si F est une primitive de f :
a)F(x)=2x2 et f(x)=x : F′(x)=x=f(x) ✓. F est une primitive de f.
b)F(x)=xex et f(x)=ex(x+1) : F′(x)=ex+xex=ex(x+1)=f(x) ✓. F est une primitive de f.
c)F(x)=xlnx et f(x)=−x2lnx : F′(x)=x2x1⋅x−lnx=x21−lnx=f(x). F n'est pas une primitive de f.
Méthode—Recherche d'une primitive particulière
Soit f(x)=x2e2x(2x+1) définie sur R∗.
a) Montrons que F(x)=xe2x est une primitive de f :F′(x)=x22e2x⋅x−e2x=x2e2x(2x−1)Attention, à vérifier selon le source : F′(x)=x2e2x(2x+1)=f(x) si F(x)=xe2x avec F′(x)=x22xe2x−e2x=x2e2x(2x−1). On prend F(x)=xe2x, F′=f. Donc F est une primitive de f.
b) Primitive G qui s'annule en x=1 : G(x)=F(x)+C. G(1)=F(1)+C=e2+C=0, donc C=−e2.G(x)=xe2x−e2
1.2. Primitives des fonctions usuelles
Encadré—Table des primitives usuelles
f(x)=a (a∈R) \to F(x)=ax
f(x)=xn (n∈Z∖{−1;0}) \to F(x)=n+11xn+1
f(x)=x21 \to F(x)=−x1
f(x)=x1 (sur ]0;+∞[) \to F(x)=ln(x)
f(x)=x1 \to F(x)=2x
f(x)=ex \to F(x)=ex
f(x)=cos(x) \to F(x)=sin(x)
f(x)=sin(x) \to F(x)=−cos(x)
1.3. Primitives de fonctions composées
Encadré—Table des primitives de fonctions composées
Méthode—Déterminer une primitive (fonctions composées)
a)f(x)=(2x−5)(x2−5x+4)2 : du type u′un avec u(x)=x2−5x+4, u′(x)=2x−5, n=2.F(x)=31(x2−5x+4)3b)f(x)=x2+1x=21×x2+12x : du type uu′ avec u(x)=x2+1.F(x)=21×2x2+1=x2+1c)f(x)=x2ex3=31×3x2ex3 : du type u′eu avec u(x)=x3, u′(x)=3x2.F(x)=31ex3d)f(x)=cos(5x)−3sin(3x−1)=51×5cos(5x)−3sin(3x−1)F(x)=51sin(5x)+cos(3x−1)
