Probabilités

On peut établir un lien entre union et quantificateur existentiel ainsi qu'entre intersection et quantificateur universel.

• Union : $x \in \displaystyle\bigcup_{i \in I} A_i \iff \exists i \in I,\, x \in A_i$
• Intersection : $x \in \displaystyle\bigcap_{i \in I} A_i \iff \forall i \in I,\, x \in A_i$

Par exemple, si $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ désigne une suite d'ensembles, on a :
$$x \in \bigcap_{n \in \mathbb{N}} \bigcup_{k \geq n} A_k \iff \forall n \in \mathbb{N},\, \exists k \geq n,\, x \in A_k$$
On comprend alors que $x \in \displaystyle\bigcap_{n \in \mathbb{N}} \bigcup_{k \geq n} A_k$ si et seulement si $x$ appartient à une infinité d'ensembles $A_n$.
De même :
$$x \in \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \bigcap_{k \geq n} A_k \iff \exists n \in \mathbb{N},\, \forall k \geq n,\, x \in A_k$$
On comprend alors que $x \in \displaystyle\bigcup_{n \in \mathbb{N}} \bigcap_{k \geq n} A_k$ si et seulement si $x$ n'appartient qu'à un nombre fini d'ensembles $\bar{A_n}$.