The Maths Tailor

1.1. Ensembles dénombrables

Définition —Ensemble dénombrable

Un ensemble est dit dénombrable s'il est en bijection avec

\mathbb{N}

.

Remarque

On dit qu'un ensemble est au plus dénombrable s'il est fini ou dénombrable.

Remarque

La relation « être en bijection avec » est une relation d'équivalence. Autrement dit, un ensemble en bijection avec un ensemble dénombrable est lui-même dénombrable.

Proposition

Les parties infinies de

\mathbb{N}

sont dénombrables.

Démonstration bientôt disponible

Exemple

L'ensemble des entiers pairs et l'ensemble des entiers impairs sont dénombrables de même que l'ensemble des nombres premiers.

Proposition

Un ensemble est fini ou dénombrable si et seulement si il est en bijection avec une partie de

\mathbb{N}

.

Démonstration bientôt disponible

Application

Soit

A

un ensemble. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes.

$A$ est fini ou dénombrable;
il existe une injection de $A$ dans un ensemble dénombrable;
il existe une surjection d'un ensemble dénombrable sur $A$ .

Correction bientôt disponible

Proposition —Opération sur les ensembles dénombrables

Un produit cartésien fini d'ensembles dénombrables est dénombrable.
La réunion d'une famille finie ou dénombrable d'ensembles finis ou dénombrables est finie ou dénombrable.

Démonstration bientôt disponible

Corollaire

\mathbb{Z}

,

\mathbb{N}^p

(

p \in \mathbb{N}^*

) et

\mathbb{Q}

sont dénombrables.

Démonstration bientôt disponible

Application

Montrer que

\mathbb{Q}[X]

est dénombrable.

Correction bientôt disponible

Proposition —Dénombrabilité du support d'une famille sommable

Soit

(u_i)_{i \in I} \in \mathbb{C}^I

une famille sommable. Alors le support de la famille

(u_i)_{i \in I}

, c'est-à-dire l'ensemble

\{i \in I,\, u_i \neq 0\}

, est au plus dénombrable.

Démonstration bientôt disponible

Proposition

\mathbb{R}

n'est pas dénombrable.

Démonstration bientôt disponible

Remarque

Si

X

est un ensemble, il n'existe pas de surjection (et donc pas de bijection) de

X

sur

\mathcal{P}(X)

. Raisonnons par l'absurde et supposons qu'il existe une telle surjection

f

. Considérons alors

A = \{x \in X,\, x \notin f(x)\}

. Par surjectivité de

f

, il existerait

a \in X

telle que

A = f(a)

. Mais alors

a \in A \iff a \notin f(a) \iff a \notin A

, ce qui est absurde.

Exemple

D'après la remarque précédente, il n'existe pas de bijection de

\mathbb{N}

sur

\mathcal{P}(\mathbb{N})

. Ainsi

\mathcal{P}(\mathbb{N})

n'est pas dénombrable.
Comme l'application

\begin{cases} \mathcal{P}(\mathbb{N}) \to \{0, 1\}^{\mathbb{N}} \\ X \mapsto \mathbb{1}_X \end{cases}

est bijective, ceci prouve également que

\{0, 1\}^{\mathbb{N}}

n'est pas dénombrable.

Remarque

On peut aussi prouver que

\{0, 1\}^{\mathbb{N}}

n'est pas dénombrable à l'aide d'un argument du type « diagonale de Cantor ». Supposons que

\{0, 1\}^{\mathbb{N}}

soit dénombrable. Il existe donc une bijection

f

de

\mathbb{N}

sur

\{0, 1\}^{\mathbb{N}}

. On définit la suite

u \in \{0, 1\}^{\mathbb{N}}

telle que

u_n = 1 - f(n)_n

pour tout

n \in \mathbb{N}

. Alors

u \notin f(\mathbb{N})

. En effet, pour tout

n \in \mathbb{N}

,

u \neq f(n)

puisque

u_n \neq f(n)_n

. Ceci contredit la surjectivité de

f

.

1.2. Notion de tribu

Définition —Tribu

On appelle tribu sur un ensemble

\Omega

toute partie

\mathcal{A}

de

\mathcal{P}(\Omega)

vérifiant les propriétés suivantes.

L'univers appartient à la tribu : $\Omega \in \mathcal{A}$ .
Stabilité par passage au complémentaire : $\forall A \in \mathcal{A},\, \bar{A} \in \mathcal{A}$ .
Stabilité par union dénombrable : $\forall (A_n) \in \mathcal{A}^{\mathbb{N}},\, \displaystyle\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n \in \mathcal{A}$ .

Remarque

Une tribu est aussi parfois appelée une

\sigma

-algèbre.

Exemple

$\mathcal{P}(\Omega)$ est une tribu sur $\Omega$ . On l'appelle la tribu pleine.
$\{\emptyset, \Omega\}$ est une tribu sur $\Omega$ . On l'appelle la tribu triviale.

Définition —Événement

On appelle événement tout élément de la tribu.
Un événement est dit élémentaire si c'est un singleton.
On appelle événement contraire d'un événement $A$ le complémentaire $\bar{A}$ de cet événement dans l'univers.
L'ensemble vide est appelé événement impossible.
$\Omega$ est appelé l'événement certain.
On dit que deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles si l'événement $A \cap B$ est impossible, i.e. $A \cap B = \emptyset$ .

Proposition

Soit

\mathcal{A}

une tribu sur un ensemble

\Omega

. On a alors les résultats suivants :

Ensemble vide : $\emptyset \in \mathcal{A}$ .
Stabilité par intersection dénombrable : $\forall (A_n) \in \mathcal{A}^{\mathbb{N}},\, \displaystyle\bigcap_{n \in \mathbb{N}} A_n \in \mathcal{A}$ .
Stabilité par union ou intersection finie : $\forall (A_1, \ldots, A_n) \in \mathcal{A}^n,\, \displaystyle\bigcup_{i=1}^{n} A_i \in \mathcal{A}$ et $\displaystyle\bigcap_{i=1}^{n} A_i \in \mathcal{A}$ .

Démonstration bientôt disponible

Définition —Espace probabilisable

On appelle espace probabilisable tout couple

(\Omega, \mathcal{A})

où

\mathcal{A}

est une tribu sur

\Omega

.

Définition —Tribu engendrée

Soit

\Omega

un ensemble et

\mathcal{C}

une partie de

\mathcal{P}(\Omega)

. On appelle tribu engendrée par

\mathcal{C}

la plus petite tribu de

\Omega

contenant

\mathcal{C}

. C'est l'intersection des tribus contenant

\mathcal{C}

.

Exemple —Jeu de pile ou face infini

On considère l'expérience aléatoire consistant à lancer une infinité de fois une pièce. On associe face à 0 et pile à 1. On peut alors considérer l'univers

\Omega = \{0, 1\}^{\mathbb{N}^*}

. On note

P_n

l'événement « obtenir pile au lancer

n

», autrement dit

P_n = \{\omega \in \Omega,\, \omega_n = 1\}

.
L'univers

\Omega

est généralement muni de la tribu engendrée par

\{P_n,\, n \in \mathbb{N}^*\}

.

Méthode —Lien entre opérations ensemblistes et quantificateurs

On peut établir un lien entre union et quantificateur existentiel ainsi qu'entre intersection et quantificateur universel.

Union : $x \in \displaystyle\bigcup_{i \in I} A_i \iff \exists i \in I,\, x \in A_i$
Intersection : $x \in \displaystyle\bigcap_{i \in I} A_i \iff \forall i \in I,\, x \in A_i$

Par exemple, si

(A_n)_{n \in \mathbb{N}}

désigne une suite d'ensembles, on a :

x \in \bigcap_{n \in \mathbb{N}} \bigcup_{k \geq n} A_k \iff \forall n \in \mathbb{N},\, \exists k \geq n,\, x \in A_k

On comprend alors que

x \in \displaystyle\bigcap_{n \in \mathbb{N}} \bigcup_{k \geq n} A_k

si et seulement si

x

appartient à une infinité d'ensembles

A_n

.
De même :

x \in \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \bigcap_{k \geq n} A_k \iff \exists n \in \mathbb{N},\, \forall k \geq n,\, x \in A_k

On comprend alors que

x \in \displaystyle\bigcup_{n \in \mathbb{N}} \bigcap_{k \geq n} A_k

si et seulement si

x

n'appartient qu'à un nombre fini d'ensembles

\bar{A_n}

.

Exemple

L'événement « obtenir uniquement pile à partir du lancer $n$ » est $\displaystyle\bigcap_{k \geq n} P_k$ .
L'événement « obtenir au moins un pile à partir du lancer $n$ » est $\displaystyle\bigcup_{k \geq n} P_k$ .
L'événement « obtenir une infinité de fois pile » est $\displaystyle\bigcap_{n \in \mathbb{N}} \bigcup_{k \geq n} P_k$ .
L'événement « obtenir un nombre fini de faces » est $\displaystyle\bigcup_{n \in \mathbb{N}} \bigcap_{k \geq n} P_k$ .

1.3. Espace probabilisé

Définition —Probabilité

Soit

(\Omega, \mathcal{A})

un espace probabilisable. On appelle probabilité sur

(\Omega, \mathcal{A})

toute application

\mathbb{P} : \mathcal{A} \to \mathbb{R}_+

telle que

$\mathbb{P}(\Omega) = 1$ ;
$\mathbb{P}$ est $\sigma$ -additive : pour toute suite d'événements $(A_n)$ deux à deux disjoints, $\displaystyle\mathbb{P}\left(\bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} A_n\right) = \sum_{n=0}^{+\infty} \mathbb{P}(A_n)$ .

Définition —Espace probabilisé

On appelle espace probabilisé tout triplet

(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})

où

(\Omega, \mathcal{A})

est un espace probabilisable et

\mathbb{P}

une probabilité sur

(\Omega, \mathcal{A})

.

Proposition —Propriétés des probabilités

Soit

(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})

un espace probabilisé.

Soit $A \in \mathcal{A}$ . Alors $\mathbb{P}(A) \in [0, 1]$ .
$\mathbb{P}(\emptyset) = 0$ .
Soit $(A, B) \in \mathcal{A}^2$ . Alors $\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B)$ .
Soit $A \in \mathcal{A}$ . Alors $\mathbb{P}(\bar{A}) = 1 - \mathbb{P}(A)$ .
Soit $(A, B) \in \mathcal{A}^2$ . Si $A \subset B$ , alors $\mathbb{P}(A) \leq \mathbb{P}(B)$ .

Démonstration bientôt disponible

Définition —Événement négligeable / presque sûr

Soit

A

un événement d'un univers probabilisé

(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})

.

Événement négligeable : On dit que $A$ est négligeable si $\mathbb{P}(A) = 0$ .
Événement presque sûr : On dit que $A$ est presque sûr si $\mathbb{P}(A) = 1$ .

Attention

$A$ peut être un événement négligeable sans que $A = \emptyset$ .
$A$ peut être un événement presque sûr sans que $A = \Omega$ .

1.4. Probabilité conditionnelle

Définition —Probabilité conditionnelle

Soient

(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})

un espace probabilisé et

(A, B) \in \mathcal{A}^2

tel que

\mathbb{P}(B) \neq 0

. On appelle probabilité de $A$ sachant $B$ notée

\mathbb{P}(A \mid B)

ou

\mathbb{P}_B(A)

le quotient

\dfrac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)}

.

Attention

La notation

\mathbb{P}(A \mid B)

peut être trompeuse. En effet,

A \mid B

ne désigne pas un événement : il n'existe pas de notion d'« événement conditionnel ».

Proposition

Soient

(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})

un espace probabilisé et

B \in \mathcal{A}

tel que

\mathbb{P}(B) \neq 0

. Alors

\mathbb{P}_B : A \in \mathcal{A} \mapsto \mathbb{P}_B(A)

est une probabilité sur

(\Omega, \mathcal{A})

.

Démonstration bientôt disponible

Proposition —Formule des probabilités composées

Soient

(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})

un espace probabilisé et

(A_1, \ldots, A_n) \in \mathcal{A}^n

tel que

\mathbb{P}(A_1 \cap \cdots \cap A_{n-1}) \neq 0

. Alors

\mathbb{P}(A_1 \cap \cdots \cap A_n) = \mathbb{P}(A_1) \mathbb{P}(A_2 \mid A_1) \mathbb{P}(A_3 \mid A_1 \cap A_2) \cdots \mathbb{P}(A_n \mid A_1 \cap \cdots \cap A_{n-1})

Démonstration bientôt disponible

Définition —Système complet d'événements

Soit

(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})

un espace probabilisé. On dit qu'une famille au plus dénombrable

(A_i)_{i \in I} \in \mathcal{A}^I

est un système complet d'événements si les

A_i

sont deux à deux disjoints et si

\Omega = \displaystyle\bigsqcup_{i \in I} A_i

.

Proposition

Soient

(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})

un espace probabilisé et

(A_i)_{i \in I} \in \mathcal{A}^I

un système complet d'événements. Alors

\displaystyle\sum_{i \in I} \mathbb{P}(A_i) = 1

.

Démonstration bientôt disponible

Remarque

On appelle système quasi-complet d'événements toute famille au plus dénombrable

(A_i)_{i \in I}

d'événements deux à deux disjoints telle que

\displaystyle\sum_{i \in I} \mathbb{P}(A_i) = 1

.

Proposition —Formule des probabilités totales

Soient

(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})

un espace probabilisé,

(A_i)_{i \in I}

un système complet d'événements et

B

un événement. Alors

\mathbb{P}(B) = \sum_{i \in I} \mathbb{P}(B \mid A_i) \mathbb{P}(A_i)

Démonstration bientôt disponible

Proposition —Formule de Bayes

Soient

(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})

un espace probabilisé.
Soient

A

et

B

deux événements tels que

\mathbb{P}(A) \neq 0

et

\mathbb{P}(B) \neq 0

. Alors

\mathbb{P}(A \mid B) = \dfrac{\mathbb{P}(B \mid A) \mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(B)}

Soient

(A_i)_{i \in I}

un système complet d'événements et

B

un événement tel que

\mathbb{P}(B) \neq 0

. Alors

\mathbb{P}(A \mid B) = \dfrac{\mathbb{P}(B \mid A) \mathbb{P}(A)}{\displaystyle\sum_{i \in I} \mathbb{P}(B \mid A_i) \mathbb{P}(A_i)}

Démonstration bientôt disponible

Remarque

La formule de Bayes et la formule des probabilités totales restent vraies si

\mathcal{S}

est un système quasi-complet d'événements.

1.5. Événements indépendants

Définition —Événements indépendants

Soit

(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})

un espace probabilisé. On dit que deux événements

A

et

B

sont indépendants si

\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A) \mathbb{P}(B)

.

Proposition

Soit

(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})

un espace probabilisé. Soient

A

et

B

deux événements avec

\mathbb{P}(B) > 0

. Alors

A

et

B

sont indépendants si et seulement si

\mathbb{P}(A \mid B) = \mathbb{P}(A)

.

Démonstration bientôt disponible

Attention

Dire que deux événements sont indépendants ne signifie pas qu'ils sont incompatibles.
Au contraire, deux événements incompatibles ne sont généralement pas indépendants à moins que l'un d'entre eux soit de probabilité nulle.

Définition —Famille d'événements indépendants

Soient

(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})

un espace probabilisé et

(A_i)_{i \in I}

une famille d'événements. On dit que

(A_i)_{i \in I}

est une famille d'événements mutuellement indépendants si, pour toute partie finie

J

de

I

,

\mathbb{P}\left(\bigcap_{j \in J} A_j\right) = \prod_{j \in J} \mathbb{P}(A_j)

Remarque

Il découle directement de la définition que toute sous-famille d'une famille d'événements mutuellement indépendants est encore une famille d'événements mutuellement indépendants.

Encadré —Pile ou face infini

On considère un jeu de pile ou face infini modélisé par l'univers

\Omega = \{0, 1\}^{\mathbb{N}^*}

. On note

P_n = \{\omega \in \Omega,\, \omega_n = 1\}

l'événement « obtenir pile au

n

-ème lancer » et on considère la tribu

\mathcal{A}

engendrée par les

P_n

.
On peut prouver qu'il existe une probabilité

\mathbb{P}

sur

(\Omega, \mathcal{A})

telle que

(P_n)_{n \in \mathbb{N}^*}

soit une suite d'événements mutuellement indépendants et de même probabilité

p \in [0, 1]

(

p = 1/2

pour une pièce équilibrée).

Attention

Si

(A_i)_{i \in I}

est une famille d'événements mutuellement indépendants alors les

A_i

sont indépendants deux à deux. Cependant, la réciproque est fausse.

Exemple

On considère l'expérience aléatoire consistant à lancer deux dés. On munit l'univers de la probabilité uniforme. On considère les événements suivants :

$A$ : « le résultat du premier dé est pair »;
$B$ : « le résultat du deuxième dé est pair »;
$C$ : « la somme des résultats des deux dés est paire ».

Les événements

A

,

B

et

C

sont deux à deux indépendants mais pas mutuellement indépendants.

Proposition —Indépendance et complémentaire

Soit

(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})

un espace probabilisé. Si

A

et

B

sont des événements indépendants, les événements

\bar{A}

et

B

sont également indépendants.

Démonstration bientôt disponible

Application

Soit

(A_i)_{i \in I}

une famille d'événements mutuellement indépendants d'un espace probabilisé

(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})

. On considère une famille

(B_i)_{i \in I}

telle que pour tout

i \in I

,

B_i = A_i

ou

B_i = \bar{A_i}

. Montrer que

(B_i)_{i \in I}

est également une famille d'événements mutuellement indépendants.

Correction bientôt disponible

1.6. Continuité croissante et décroissante

Proposition —Continuité croissante et décroissante

Soit

(A_n)_{n \in \mathbb{N}}

une suite d'événements d'un univers probabilisé

(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})

.

Continuité croissante : Si $(A_n)$ est croissante pour l'inclusion, alors $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \mathbb{P}(A_n) = \mathbb{P}\left(\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n\right)$ .
Continuité décroissante : Si $(A_n)$ est décroissante pour l'inclusion, alors $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \mathbb{P}(A_n) = \mathbb{P}\left(\bigcap_{n \in \mathbb{N}} A_n\right)$ .

Démonstration bientôt disponible

Remarque

La continuité croissante et décroissante donne en particulier l'existence des limites des suites

(\mathbb{P}(A_n))

dans le cas où la suite d'événements

(A_n)

est monotone.

Corollaire

Soit

(A_n)_{n \in \mathbb{N}}

une suite d'événements (non nécessairement monotone) d'un univers probabilisé

(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})

. Alors

\lim_{n \to +\infty} \mathbb{P}\left(\bigcup_{k=0}^{n} A_k\right) = \mathbb{P}\left(\bigcup_{k=0}^{+\infty} A_k\right)

\lim_{n \to +\infty} \mathbb{P}\left(\bigcap_{k=0}^{n} A_k\right) = \mathbb{P}\left(\bigcap_{k=0}^{+\infty} A_k\right)

Démonstration bientôt disponible

Exemple

Dans un jeu de pile ou face infini, considérons l'événement

A

: « obtenir uniquement des faces ». Alors

A = \displaystyle\bigcap_{n \in \mathbb{N}} F_n

. Posons

E_n = \displaystyle\bigcap_{k=0}^{n} F_k

. Alors

\mathbb{P}(A) = \displaystyle\lim_{n \to +\infty} \mathbb{P}(E_n)

. Mais

\mathbb{P}(E_n) = \dfrac{1}{2^{n+1}}

pour tout

n \in \mathbb{N}

. Ainsi

\mathbb{P}(A) = 0

.

Corollaire

Soit

(A_n)_{n \in \mathbb{N}}

une suite d'événements d'un univers probabilisé

(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})

. Alors

\mathbb{P}\left(\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n\right) \leq \sum_{n=0}^{+\infty} \mathbb{P}(A_n)

Démonstration bientôt disponible

Remarque

On peut donner un sens à l'inégalité précédente même si la série

\displaystyle\sum_{n \in \mathbb{N}} \mathbb{P}(A_n)

diverge, puisqu'étant à termes positifs, elle diverge dans ce cas vers

+\infty

.

Proposition

Une réunion finie ou dénombrable d'événements négligeables est un événement négligeable.
Une intersection finie ou dénombrable d'événements presque sûrs est un événement presque sûr.

Démonstration bientôt disponible

Application

Dans un jeu de pile ou face infini, déterminer la probabilité d'obtenir un nombre fini de piles.

Correction bientôt disponible

1.7. Espace probabilisé discret

Définition —Distribution de probabilités discrète

On appelle distribution de probabilités discrète sur un ensemble

\Omega

une famille

(p_\omega)_{\omega \in \Omega} \in (\mathbb{R}_+)^\Omega

telle que

\displaystyle\sum_{\omega \in \Omega} p_\omega = 1

.

Proposition —Support d'une distribution de probabilités discrète

Si

(p_\omega)_{\omega \in \Omega}

est une distribution de probabilités discrète, alors son support

\{\omega \in \Omega,\, p_\omega \neq 0\}

est au plus dénombrable.

Démonstration bientôt disponible

Proposition —Espace probabilisé discret

Soit

\Omega

un univers au plus dénombrable.

Soit $\mathbb{P}$ une probabilité sur $(\Omega, \mathcal{P}(\Omega))$ . Alors la famille $(\mathbb{P}(\{\omega\}))_{\omega \in \Omega}$ est sommable de somme $1$ .
Soit $(p_\omega)_{\omega \in \Omega}$ une distribution de probabilités discrète. Alors il existe une unique probabilité sur $(\Omega, \mathcal{P}(\Omega))$ telle que $\mathbb{P}(\{\omega\}) = p_\omega$ pour tout $\omega \in \Omega$ .

Démonstration bientôt disponible

Exemple

On peut définir une probabilité

\mathbb{P}

sur

(\mathbb{N}, \mathcal{P}(\mathbb{N}))

en posant

\mathbb{P}(\{n\}) = \dfrac{1}{2^{n+1}}

puisque pour tout

n \in \mathbb{N}

,

\dfrac{1}{2^{n+1}} \geq 0

et

\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{1}{2^{n+1}} = 1

.

Probabilités

1. Espace probabilisé

1.1. Ensembles dénombrables

1.2. Notion de tribu

1.3. Espace probabilisé

1.4. Probabilité conditionnelle

1.5. Événements indépendants

1.6. Continuité croissante et décroissante

1.7. Espace probabilisé discret