Probabilités sur un univers fini

THE MATHS TAILOR

1. Notion d'expérience aléatoire

1.1. Expérience aléatoire

Définition—Expérience aléatoire

On appelle expérience aléatoire toute expérience dont le résultat dépend du hasard, c'est-à-dire tout expérience qui, renouvelée dans les mêmes conditions, ne donne pas à chaque essai les mêmes résultats.
On appelle issue ou réalisation d'une expérience aléatoire tout résultat possible de cette expérience.
L'ensemble des issues d'une expérience aléatoire est appelé univers de cette expérience.

Exemple

Le lancer d'un dé est une expérience aléatoire. Il existe six issues possibles : « tirer un 1 », « tirer un 2 », « tirer un 3 », « tirer un 4 », « tirer un 5 », « tirer un 6 ». Pour simplifier on notera ces issues 1, 2, 3, 4, 5, 6. L'univers de cette expérience aléatoire est alors

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Remarque

Cette année, nous n'étudierons que les expériences aléatoires possédant un univers fini. Il existe bien entendu des expériences aléatoires à univers infini (par exemple, jouer à pile ou face jusqu'à ce qu'un pile sorte).

Définition—Événement

On appelle événement toute partie de l'univers d'une expérience aléatoire.
Un événement est dit élémentaire si c'est un singleton.
On appelle événement contraire d'un événement $A$ le complémentaire $\overset{ˉ}{A}$ de cet événement dans l'univers.
Si $A$ et $B$ sont deux événements, on appelle événement $A$ et $B$ la partie $A \cap B$ .
Si $A$ et $B$ sont deux événements, on appelle événement $A$ ou $B$ la partie $A \cup B$ .
L'ensemble vide est appelé événement impossible.
$Ω$ est appelé l'événement certain.
On dit que deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles si l'événement $A$ et $B$ est impossible.
On appelle système complet d'événements toute partition de l'univers.

Remarque

Un événement et son événement contraire sont incompatibles. Si

A

est un événement possible, alors

{A, \overset{ˉ}{A}}

est un système complet d'événements. Si

Ω

désigne l'univers,

{{ω}, ω \in Ω}

est un système complet d'événements.

Exemple

On considère à nouveau l'expérience aléatoire consistant à lancer un dé et observer le résultat. « Tirer un entier pair » est un événement. L'événement « tirer un 1 » est un événement élémentaire. L'événement contraire de « tirer un entier pair » est « tirer un entier impair ». Si

A

est l'événement « tirer un entier pair » et

B

est l'événement « tirer un entier inférieur ou égal à 4 », l'événement

A

B

est « tirer un 2 ou un 4 » tandis que l'événement

A

B

est « tirer un 1, un 2, un 3, un 4 ou un 6 ». L'événement « tirer un 7 » est impossible. Les événements « tirer un entier pair » et « tirer un 5 » sont incompatibles. Notons

A

l'événement « tirer un 1 ou un 3 »,

B

l'événement « tirer un entier pair » et

C

l'événement « tirer un 5 ».

{A, B, C}

est un système complet d'événements.

Encadré—Lien entre vocabulaires ensembliste et probabiliste

Vocabulaire probabiliste	Vocabulaire ensembliste
Issue	Élément
Événement	Partie
Événement élémentaire	Singleton
Événement contraire	Complémentaire
$A$ et $B$	$A \cap B$
$A$ ou $B$	$A \cup B$
Événement impossible	Ensemble vide
Événements incompatibles	Parties disjointes
Système complet d'événements	Partition

Encadré—Modélisation

Dans un premier temps, il est essentiel de modéliser correctement l'expérience aléatoire comme le montre les exemples suivants.

Successif/simultané : Supposons que l'on tire deux cartes dans un jeu de 52 cartes. On s'intéresse aux valeurs et aux couleurs de ces deux cartes. Combien y a-t-il d'issues possibles ? Si l'on tire successivement les deux cartes, il y a 52 choix possibles pour la première carte et 51 choix possibles pour la seconde donc en tout $52 \times 51 = 2652$ issues possibles. Notamment les issues $(7♡, V ♠)$ et $(V ♠, 7♡)$ sont deux issues distinctes. Si l'on tire simultanément les deux cartes, il n'y a aucune raison de distinguer les issues $(7♡, V ♠)$ et $(V ♠, 7♡)$ . Le nombre d'issues possibles est $(2 52) = 1326$ .
Avec remise/sans remise : Supposons que l'on tire successivement 2 boules dans une urne contenant 10 boules numérotées de 1 à 10. On s'intéresse aux valeurs affichées par ces deux boules. Combien y a-t-il d'issues possibles ? S'il s'agit d'un tirage avec remise i.e. si l'on remet la première boule dans l'urne après l'avoir tirée, il y a 10 choix possibles pour la première boule et à nouveau 10 choix possibles pour la seconde boule donc $10 \times 10 = 100$ issues possibles. S'il s'agit d'un tirage sans remise, alors il y a 10 choix possibles pour la première boule mais plus que 9 choix possibles pour la seconde donc $10 \times 9 = 90$ issues possibles (on n'a plus accès aux issues du type $(n, n)$ ).

Remarque

On remarquera que le nombre d'issues possibles s'exprime souvent à l'aide de nombre d'arrangements ou de nombre de combinaisons.

1. Notion d'expérience aléatoire

1.1. Expérience aléatoire

Définition—Expérience aléatoire

On appelle expérience aléatoire toute expérience dont le résultat dépend du hasard, c'est-à-dire tout expérience qui, renouvelée dans les mêmes conditions, ne donne pas à chaque essai les mêmes résultats.
On appelle issue ou réalisation d'une expérience aléatoire tout résultat possible de cette expérience.
L'ensemble des issues d'une expérience aléatoire est appelé univers de cette expérience.

Exemple

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Remarque

Définition—Événement

On appelle événement toute partie de l'univers d'une expérience aléatoire.
Un événement est dit élémentaire si c'est un singleton.
On appelle événement contraire d'un événement $A$ le complémentaire $\overset{ˉ}{A}$ de cet événement dans l'univers.
Si $A$ et $B$ sont deux événements, on appelle événement $A$ et $B$ la partie $A \cap B$ .
Si $A$ et $B$ sont deux événements, on appelle événement $A$ ou $B$ la partie $A \cup B$ .
L'ensemble vide est appelé événement impossible.
$Ω$ est appelé l'événement certain.
On dit que deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles si l'événement $A$ et $B$ est impossible.
On appelle système complet d'événements toute partition de l'univers.

Remarque

Un événement et son événement contraire sont incompatibles. Si

A

est un événement possible, alors

{A, \overset{ˉ}{A}}

est un système complet d'événements. Si

Ω

désigne l'univers,

{{ω}, ω \in Ω}

est un système complet d'événements.

Exemple

A

est l'événement « tirer un entier pair » et

B

est l'événement « tirer un entier inférieur ou égal à 4 », l'événement

A

B

est « tirer un 2 ou un 4 » tandis que l'événement

A

B

est « tirer un 1, un 2, un 3, un 4 ou un 6 ». L'événement « tirer un 7 » est impossible. Les événements « tirer un entier pair » et « tirer un 5 » sont incompatibles. Notons

A

l'événement « tirer un 1 ou un 3 »,

B

l'événement « tirer un entier pair » et

C

l'événement « tirer un 5 ».

{A, B, C}

est un système complet d'événements.

Encadré—Lien entre vocabulaires ensembliste et probabiliste

Vocabulaire probabiliste	Vocabulaire ensembliste
Issue	Élément
Événement	Partie
Événement élémentaire	Singleton
Événement contraire	Complémentaire
$A$ et $B$	$A \cap B$
$A$ ou $B$	$A \cup B$
Événement impossible	Ensemble vide
Événements incompatibles	Parties disjointes
Système complet d'événements	Partition

Encadré—Modélisation

Dans un premier temps, il est essentiel de modéliser correctement l'expérience aléatoire comme le montre les exemples suivants.

Successif/simultané : Supposons que l'on tire deux cartes dans un jeu de 52 cartes. On s'intéresse aux valeurs et aux couleurs de ces deux cartes. Combien y a-t-il d'issues possibles ? Si l'on tire successivement les deux cartes, il y a 52 choix possibles pour la première carte et 51 choix possibles pour la seconde donc en tout $52 \times 51 = 2652$ issues possibles. Notamment les issues $(7♡, V ♠)$ et $(V ♠, 7♡)$ sont deux issues distinctes. Si l'on tire simultanément les deux cartes, il n'y a aucune raison de distinguer les issues $(7♡, V ♠)$ et $(V ♠, 7♡)$ . Le nombre d'issues possibles est $(2 52) = 1326$ .
Avec remise/sans remise : Supposons que l'on tire successivement 2 boules dans une urne contenant 10 boules numérotées de 1 à 10. On s'intéresse aux valeurs affichées par ces deux boules. Combien y a-t-il d'issues possibles ? S'il s'agit d'un tirage avec remise i.e. si l'on remet la première boule dans l'urne après l'avoir tirée, il y a 10 choix possibles pour la première boule et à nouveau 10 choix possibles pour la seconde boule donc $10 \times 10 = 100$ issues possibles. S'il s'agit d'un tirage sans remise, alors il y a 10 choix possibles pour la première boule mais plus que 9 choix possibles pour la seconde donc $10 \times 9 = 90$ issues possibles (on n'a plus accès aux issues du type $(n, n)$ ).

Remarque

On remarquera que le nombre d'issues possibles s'exprime souvent à l'aide de nombre d'arrangements ou de nombre de combinaisons.