Produit Scalaire

premieregeometrie

Méthodes · BientôtExercices

1. Définitions et propriétés

1.1. Définitions

Définition—Norme d'un vecteur

Soit deux points

A

et

B

. La norme du vecteur

A B

, notée

∥ A B ∥

, est la distance

A B

.

Définition—Produit scalaire

Soit

A B

et

A C

deux vecteurs. On appelle produit scalaire de

A B

par

A C

, noté

A B \cdot A C

, le nombre réel défini par :

A B \cdot A C = A B \times A C \times cos (B A C)

Proposition—Carré scalaire

A B \cdot A B = A B^{2} = ∥ A B ∥^{2} = A B^{2}

Remarque

•

u \cdot v

se lit «

u

scalaire

v

».
• Si l'un des deux vecteurs

u

et

v

est nul, alors

u \cdot v = 0

.

Exemple

On donne :

A B = 2

,

A C = 5

et

B A C = \frac{π}{4}

.

Alors :

A B \cdot A C = 2 \times 5 \times cos (\frac{π}{4}) = 10 \times \frac{2}{2} = 52

.

Méthode—Calculer un produit scalaire à l'aide de la formule du cosinus

a) Soit un triangle équilatéral

A B C

de côté 5. Calculer le produit scalaire

A B \cdot A C

.

Correction :

A B \cdot A C = A B \times A C \times cos (B A C) = 5 \times 5 \times cos (\frac{π}{3}) = 25 \times 0, 5 = 12, 5

b) Soit

I

le milieu de

[A B]

. Calculer le produit scalaire

A I \cdot B C

.

Correction :

Le produit scalaire

A I \cdot B C

est composé de deux vecteurs qui n'ont pas la même origine. On construit alors le point

D

tel que :

A D = B C

. De cette façon, le produit scalaire à calculer est composé de deux vecteurs de même origine le point

A

.

A I \cdot B C = A I \cdot A D = A I \times A D \times cos (I A D) = 2, 5 \times 5 \times cos (\frac{2 π}{3}) = 12, 5 \times (- 0, 5) = - 6, 25

Attention

Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel. Écrire par exemple

u \cdot v = 0

est une maladresse à éviter !

1.2. Propriétés algébriques

Proposition—Propriété de symétrie

u \cdot v = v \cdot u

2. Produit scalaire et norme

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

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3. Produit scalaire et orthogonalité

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

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4. Produit scalaire dans un repère orthonormé

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1. Définitions et propriétés

1.1. Définitions

Définition—Norme d'un vecteur

Soit deux points

A

et

B

. La norme du vecteur

A B

, notée

∥ A B ∥

, est la distance

A B

.

Définition—Produit scalaire

Soit

A B

et

A C

deux vecteurs. On appelle produit scalaire de

A B

par

A C

, noté

A B \cdot A C

, le nombre réel défini par :

A B \cdot A C = A B \times A C \times cos (B A C)

Proposition—Carré scalaire

A B \cdot A B = A B^{2} = ∥ A B ∥^{2} = A B^{2}

Remarque

•

u \cdot v

se lit «

u

scalaire

v

».
• Si l'un des deux vecteurs

u

et

v

est nul, alors

u \cdot v = 0

.

Exemple

On donne :

A B = 2

,

A C = 5

et

B A C = \frac{π}{4}

.

Alors :

A B \cdot A C = 2 \times 5 \times cos (\frac{π}{4}) = 10 \times \frac{2}{2} = 52

.

Méthode—Calculer un produit scalaire à l'aide de la formule du cosinus

a) Soit un triangle équilatéral

A B C

de côté 5. Calculer le produit scalaire

A B \cdot A C

.

Correction :

A B \cdot A C = A B \times A C \times cos (B A C) = 5 \times 5 \times cos (\frac{π}{3}) = 25 \times 0, 5 = 12, 5

b) Soit

I

le milieu de

[A B]

. Calculer le produit scalaire

A I \cdot B C

.

Correction :

Le produit scalaire

A I \cdot B C

est composé de deux vecteurs qui n'ont pas la même origine. On construit alors le point

D

tel que :

A D = B C

. De cette façon, le produit scalaire à calculer est composé de deux vecteurs de même origine le point

A

.

A I \cdot B C = A I \cdot A D = A I \times A D \times cos (I A D) = 2, 5 \times 5 \times cos (\frac{2 π}{3}) = 12, 5 \times (- 0, 5) = - 6, 25

Attention

Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel. Écrire par exemple

u \cdot v = 0

est une maladresse à éviter !

1.2. Propriétés algébriques

Proposition—Propriété de symétrie

u \cdot v = v \cdot u

2. Produit scalaire et norme

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3. Produit scalaire et orthogonalité

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Démonstration bientôt disponible

Proposition—Propriétés de bilinéarité

1)

u \cdot (v + w) = u \cdot v + u \cdot w

2)

u \cdot (k v) = k u \cdot v

, avec

k

un nombre réel.

Démonstration bientôt disponible

Proposition—Identités remarquables

1)

(u + v)^{2} = u^{2} + 2 u \cdot v + v^{2}

On peut également noter :

∥ u + v ∥^{2} = ∥ u ∥^{2} + 2 u \cdot v + ∥ v ∥^{2}

2)

(u - v)^{2} = u^{2} - 2 u \cdot v + v^{2}

3)

(u + v) \cdot (u - v) = u^{2} - v^{2}

Démonstration bientôt disponible

Méthode—Appliquer les propriétés du produit scalaire

Soit

u

et

v

deux vecteurs de normes respectives 2 et 3 et tels que :

u \cdot v = 1

.

Calculer :

a)

(u + v) \cdot (u - v)

Correction :

(u + v) \cdot (u - v) = u^{2} - v^{2} = ∥ u ∥^{2} - ∥ v ∥^{2} = 2^{2} - 3^{2} = - 5

b)

u \cdot (u + v)

Correction :

u \cdot (u + v) = u \cdot u + u \cdot v = ∥ u ∥^{2} + u \cdot v = 2^{2} + 1 = 5

c)

- 2 v \cdot (3 u - v)

Correction :

- 2 v \cdot (3 u - v) = - 6 v \cdot u + 2 v \cdot v = - 6 v \cdot u + 2∥ v ∥^{2} = - 6 u \cdot v + 2∥ v ∥^{2} = - 6 \times 1 + 2 \times 3^{2} = 12