Réduction géométrique

Soient $F_1, \ldots, F_p$ des sous-espaces vectoriels d'un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$. $F_1, \ldots, F_p$ sont en somme directe si et seulement si $$\forall (x_1, \ldots, x_p) \in \prod_{k=1}^{p} F_k, \quad x_1 + \cdots + x_p = 0_E \implies x_1 = \cdots = x_p = 0_E$$

Soient $F_1, \ldots, F_p$ des sous-espaces vectoriels d'un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$. On suppose qu'il existe des bases $\mathcal{F}_1, \ldots, \mathcal{F}_p$ de $F_1, \ldots, F_p$. Alors la famille $\mathcal{B}$ obtenue par concaténation des bases $\mathcal{F}_1, \ldots, \mathcal{F}_p$ est une base de $\displaystyle\sum_{i=1}^{p} F_i$ si et seulement si $F_1, \ldots, F_p$ sont en somme directe.

Dans ce cas, $\mathcal{B}$ est dite base adaptée à la somme directe $\displaystyle\bigoplus_{i=1}^{p} F_i$.

Soient $F_1, \ldots, F_p$ des sous-espaces vectoriels de dimension finie d'un espace vectoriel $E$. Alors $$\dim\left(\sum_{k=1}^{p} F_k\right) \leq \sum_{k=1}^{p} \dim F_k$$

De plus, l'inégalité précédente est une égalité si et seulement si $F_1, \ldots, F_p$ sont en somme directe.

Soient $E$ et $F$ des $\mathbb{K}$-espaces vectoriels et $E_1, \ldots, E_p$ des sous-espaces vectoriels de $E$ tels que $E = \displaystyle\bigoplus_{k=1}^{p} E_k$. Soient $(u_1, \ldots, u_p) \in \displaystyle\prod_{k=1}^{p} \mathcal{L}(E_k, F)$. Il existe une unique application linéaire $u \in \mathcal{L}(E, F)$ telle que $u|_{E_k} = u_k$ pour tout $k \in \llbracket 1, p \rrbracket$.

Le déterminant d'une matrice triangulaire par blocs (et a fortiori diagonale par blocs) est le produit des déterminants des blocs diagonaux.

Le déterminant d'une matrice carrée est invariant par transvection par blocs.

Soient $u$ un endomorphisme d'un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. Une base $\mathcal{B}$ de $E$ est adaptée à $F$ si et seulement si la matrice de $u$ dans $\mathcal{B}$ est triangulaire par blocs. Plus précisément, en notant $n = \dim E$ et $p = \dim F$, il existe $A \in \mathcal{M}_p(\mathbb{K})$, $B \in \mathcal{M}_{p, n-p}(\mathbb{K})$ et $C \in \mathcal{M}_{n-p}(\mathbb{K})$ telles que $\text{mat}_{\mathcal{B}}(u) = \begin{pmatrix} A & B \\ 0 & C \end{pmatrix}$. On peut remarquer que $A$ est la matrice de l'endomorphisme de $F$ induit par $u$ dans la base formée des $p$ premiers vecteurs de $\mathcal{B}$.

(i) L'indice de nilpotence d'un endomorphisme nilpotent d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie est inférieur ou égal à $\dim E$.

(ii) L'indice de nilpotence d'une matrice nilpotente de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ est inférieur ou égal à $n$.