The Maths Tailor

1.1. Matrices semblables

Définition —Matrices semblables

Soient

A

et

B

deux matrices de

\mathcal{M}_n(\mathbb{K})

. On dit que

B

est semblable à

A

si et seulement si il existe

P \in \text{GL}_n(\mathbb{K})

telle que

B = P^{-1}AP.

Remarque

Pour

\lambda \in \mathbb{K}

, la seule matrice semblable à

\lambda I_n

est

\lambda I_n

.

Proposition

La relation de similitude («être semblable à») est une relation d'équivalence.

Démonstration bientôt disponible

Remarque

Si deux matrices sont semblables, l'une est inversible si et seulement si l'autre l'est.

Remarque

Si

A

et

B

sont semblables, alors

A^n

et

B^n

sont semblables pour tout

n \in \mathbb{N}

(pour tout

n \in \mathbb{Z}

si

A

est inversible).

Plus précisément, s'il existe une matrice inversible

P

telle que

B = P^{-1}AP

, alors

B^n = P^{-1}A^nP

pour tout

n \in \mathbb{N}

(pour tout

n \in \mathbb{Z}

si

A

est inversible).

1.2. Sommes de sous-espaces vectoriels

Définition —Somme d'un nombre fini de sous-espaces vectoriels

Soient

F_1, \ldots, F_p

des sous-espaces vectoriels d'un

\mathbb{K}

-espace vectoriel

E

. On appelle somme de

F_1, \ldots, F_p

le sous-espace vectoriel

F_1 + \cdots + F_p = \sum_{k=1}^{p} F_k = \{x_1 + \cdots + x_p, \, (x_1, \ldots, x_p) \in \prod_{k=1}^{p} F_k\}

Remarque

On a

\displaystyle\sum_{k=1}^{n} F_k = \text{vect}\left(\bigcup_{k=1}^{n} F_k\right)

.

\displaystyle\sum_{k=1}^{n} F_k

est donc le plus petit sous-espace vectoriel contenant

F_1, \ldots, F_n

.

Remarque

La somme d'espaces vectoriels est associative : si

F

,

G

,

H

sont trois sous-espaces vectoriels,

F + G + H = (F + G) + H = F + (G + H)

Définition —Somme directe d'un nombre fini de sous-espaces vectoriels

Soient

F_1, \ldots, F_p

des sous-espaces vectoriels d'un

\mathbb{K}

-espace vectoriel

E

. On dit que

F_1, \ldots, F_p

sont en somme directe si pour tout

x \in \displaystyle\sum_{k=1}^{p} F_k

il existe un unique

p

-uplet

(x_1, \ldots, x_p) \in \displaystyle\prod_{k=1}^{p} F_k

tel que

x = x_1 + \cdots + x_p

.

La somme de

F_1, \ldots, F_p

est alors notée

F_1 \oplus \cdots \oplus F_p = \displaystyle\bigoplus_{k=1}^{p} F_k

.

Proposition —Caractérisation d'une somme directe d'un nombre fini de sous-espaces vectoriels

Soient

F_1, \ldots, F_p

des sous-espaces vectoriels d'un

\mathbb{K}

-espace vectoriel

E

.

F_1, \ldots, F_p

sont en somme directe si et seulement si

\forall (x_1, \ldots, x_p) \in \prod_{k=1}^{p} F_k, \quad x_1 + \cdots + x_p = 0_E \implies x_1 = \cdots = x_p = 0_E

Démonstration bientôt disponible

Remarque

Si des sous-espaces vectoriels sont en somme directe, ils sont deux à deux en somme directe.

Attention

La réciproque est fausse. Des espaces vectoriels peuvent être deux à deux en somme directe sans que leur somme soit directe. Par exemple, trois droites distinctes coplanaires ont leurs intersections deux à deux nulles sans pour autant qu'elles soient en somme directe.

Remarque

Si

(F_i)_{i \in I}

est une famille finie de sous-espaces vectoriels en somme directe d'un espace vectoriel

E

, alors, pour toute partie

J

de

I

,

(F_i)_{i \in J}

est également une famille de sous-espaces vectoriels en somme directe.

De plus, si

J_1, \ldots, J_r

sont des parties deux à deux disjointes de

I

, alors, en posant

G_k = \displaystyle\bigoplus_{i \in J_k} F_i

, les sous-espaces vectoriels

G_1, \ldots, G_r

sont encore en somme directe. De plus,

\displaystyle\bigoplus_{i=1}^{r} G_i = \bigoplus_{i \in \bigsqcup_{i=1}^{r} J_i} F_i

.

Exemple

Si

F

,

G

et

H

sont trois sous-espaces vectoriels en somme directe d'un espace vectoriel

E

, alors

F \oplus G \oplus H = (F \oplus G) \oplus H = F \oplus (G \oplus H)

Définition —Projecteurs associés à une décomposition en somme directe

Soient

F_1, \ldots, F_r

des sous-espaces vectoriels d'un

\mathbb{K}

-espace vectoriel

E

tels que

E = \displaystyle\bigoplus_{i=1}^{r} F_i

. On note

p_i

le projecteur sur

F_i

parallèlement à

\displaystyle\bigoplus_{j \in \llbracket 1, r \rrbracket \setminus \{i\}} F_j

. La famille

(p_1, \ldots, p_r)

est appelée famille de projecteurs associée à la décomposition en somme directe

E = \displaystyle\bigoplus_{i=1}^{r} F_i

. On a alors

\sum_{i=1}^{r} p_i = \text{Id}_E.

Remarque

On constate également que

p_i \circ p_j = 0

pour

i \neq j

.

Proposition —Base d'une somme directe d'un nombre fini de sous-espaces vectoriels

Soient

F_1, \ldots, F_p

des sous-espaces vectoriels d'un

\mathbb{K}

-espace vectoriel

E

. On suppose qu'il existe des bases

\mathcal{F}_1, \ldots, \mathcal{F}_p

de

F_1, \ldots, F_p

. Alors la famille

\mathcal{B}

obtenue par concaténation des bases

\mathcal{F}_1, \ldots, \mathcal{F}_p

est une base de

\displaystyle\sum_{i=1}^{p} F_i

si et seulement si

F_1, \ldots, F_p

sont en somme directe.

Dans ce cas,

\mathcal{B}

est dite base adaptée à la somme directe

\displaystyle\bigoplus_{i=1}^{p} F_i

.

Démonstration bientôt disponible

Proposition —Dimension d'une somme d'un nombre fini de sous-espaces vectoriels

Soient

F_1, \ldots, F_p

des sous-espaces vectoriels de dimension finie d'un espace vectoriel

E

. Alors

\dim\left(\sum_{k=1}^{p} F_k\right) \leq \sum_{k=1}^{p} \dim F_k

De plus, l'inégalité précédente est une égalité si et seulement si

F_1, \ldots, F_p

sont en somme directe.

Démonstration bientôt disponible

Remarque

Soient

F_1, \ldots, F_p

des sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel

E

de dimension finie. Pour montrer que

E = \displaystyle\bigoplus_{k=1}^{p} F_k

, il suffit de montrer que

F_1, \ldots, F_p

sont en somme directe et que

\displaystyle\sum_{k=1}^{p} \dim F_k = \dim E

.

Proposition

Soient

E

et

F

des

\mathbb{K}

-espaces vectoriels et

E_1, \ldots, E_p

des sous-espaces vectoriels de

E

tels que

E = \displaystyle\bigoplus_{k=1}^{p} E_k

. Soient

(u_1, \ldots, u_p) \in \displaystyle\prod_{k=1}^{p} \mathcal{L}(E_k, F)

. Il existe une unique application linéaire

u \in \mathcal{L}(E, F)

telle que

u|_{E_k} = u_k

pour tout

k \in \llbracket 1, p \rrbracket

.

Démonstration bientôt disponible

Exemple

Soit

H

un hyperplan de

E

et

a \in E \setminus H

. Il existe une unique forme linéaire sur

E

tel que

\ker \varphi = H

et

\varphi(a) = 1

.

1.3. Matrices définies par blocs

Encadré —Matrices définies par blocs

Soit

A \in \mathcal{M}_{n,q}(\mathbb{K})

,

B \in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K})

,

C \in \mathcal{M}_{n,r}(\mathbb{K})

et

D \in \mathcal{M}_{p,r}(\mathbb{K})

. On peut définir une matrice

M \in \mathcal{M}_{n+p,q+r}(\mathbb{K})

à l'aide de ces quatre matrices de la façon suivante :

M = \begin{pmatrix} A & C \\ B & D \end{pmatrix}

Encadré —Produit de matrices définies par blocs

Le produit de deux matrices définies par blocs s'effectue de la manière suivante :

\begin{pmatrix} A & C \\ B & D \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E & G \\ F & H \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} AE + CF & AG + CH \\ BE + DF & BG + DH \end{pmatrix}

Attention

Il faut bien évidemment que les différentes matrices soient de taille compatible :

le nombre de colonnes de $A$ et $B$ doit être le nombre de lignes de $E$ et $G$ ;
le nombre de colonnes de $C$ et $D$ doit être le nombre de lignes de $F$ et $H$ .

Remarque

La transposée de la matrice

\begin{pmatrix} A & C \\ B & D \end{pmatrix}

est la matrice

\begin{pmatrix} A^\top & B^\top \\ C^\top & D^\top \end{pmatrix}

.

Définition —Matrices triangulaires par blocs

On dit qu'une matrice carrée

A

est triangulaire supérieure par blocs s'il existe une famille de matrices

(A_{i,j})_{1 \leq i \leq j \leq r}

de tailles «adéquates» telle que

A = \begin{pmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,r} \\ 0 & A_{2,2} & & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & A_{r-1,r} \\ 0 & \cdots & 0 & A_{r,r} \end{pmatrix}

On dit qu'une matrice carrée

A

est triangulaire inférieure par blocs s'il existe une famille de matrices

(A_{i,j})_{1 \leq j \leq i \leq r}

de tailles «adéquates» telle que

A = \begin{pmatrix} A_{1,1} & 0 & \cdots & 0 \\ A_{2,1} & A_{2,2} & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ A_{r,1} & \cdots & A_{r,r-1} & A_{r,r} \end{pmatrix}

Définition —Matrices diagonales par blocs

On dit qu'une matrice carrée

A

est diagonale par blocs s'il existe des matrices carrées

A_1, \ldots, A_r

telles que

A = \begin{pmatrix} A_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & A_2 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & A_r \end{pmatrix}

Proposition —Déterminants par blocs

Le déterminant d'une matrice triangulaire par blocs (et a fortiori diagonale par blocs) est le produit des déterminants des blocs diagonaux.

Démonstration bientôt disponible

Attention

En général

\begin{vmatrix} A & C \\ B & D \end{vmatrix} \neq \det(A)\det(D) - \det(B)\det(C).

Encadré —Transvections par blocs

On appelle transvection par blocs une opération transformant une matrice

\begin{pmatrix} A & B \end{pmatrix}

en une matrice

\begin{pmatrix} A & B + \lambda A \end{pmatrix}

(si

A

et

B

ont le même nombre de colonnes) ou une matrice

\begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix}

en une matrice

\begin{pmatrix} A \\ B + \lambda A \end{pmatrix}

(si

A

et

B

ont le même nombre de lignes).

Remarque

La première opération correspond à la multiplication à droite par une matrice du type

\begin{pmatrix} I_p & 0 \\ \lambda I_p & I_p \end{pmatrix}

et la seconde à la multiplication à gauche par une matrice du type

\begin{pmatrix} I_p & 0 \\ \lambda I_p & I_p \end{pmatrix}

.

Proposition

Le déterminant d'une matrice carrée est invariant par transvection par blocs.

Démonstration bientôt disponible

1.4. Sous-espaces stables

Définition —Sous-espace stable

Soient

u

un endomorphisme d'un

\mathbb{K}

-espace vectoriel

E

et

F

un sous-espace vectoriel de

E

. On dit que

F

est stable par

u

si

u(F) \subset F

.

Exemple

Soit

u

un endomorphisme d'un

\mathbb{K}

-espace vectoriel

E

. Alors

\ker u

et

\text{Im } u

sont stables par

u

.

Remarque

Si

F

est un sous-espace stable par

u \in \mathcal{L}(E)

, alors

u

induit un endomorphisme

u_F

de

F

.

Application

Soient

u

et

v

deux endomorphismes d'un

\mathbb{K}

-espace vectoriel

E

qui commutent i.e.

u \circ v = v \circ u

. Montrer que si

F

est un sous-espace vectoriel de

E

stable par

u

, alors

v(F)

est également stable par

u

.

Correction bientôt disponible

Définition —Base adaptée à un sous-espace vectoriel

Soient

E

un espace vectoriel de dimension finie et

F

un sous-espace vectoriel de

E

. On dit qu'une base de

E

est adaptée à $F$ si ses premiers éléments forment une base de

F

.

Proposition —Matrice et stabilité

Soient

u

un endomorphisme d'un

\mathbb{K}

-espace vectoriel de dimension finie et

F

un sous-espace vectoriel de

E

. Une base

\mathcal{B}

de

E

est adaptée à

F

si et seulement si la matrice de

u

dans

\mathcal{B}

est triangulaire par blocs. Plus précisément, en notant

n = \dim E

et

p = \dim F

, il existe

A \in \mathcal{M}_p(\mathbb{K})

,

B \in \mathcal{M}_{p, n-p}(\mathbb{K})

et

C \in \mathcal{M}_{n-p}(\mathbb{K})

telles que

\text{mat}_{\mathcal{B}}(u) = \begin{pmatrix} A & B \\ 0 & C \end{pmatrix}

. On peut remarquer que

A

est la matrice de l'endomorphisme de

F

induit par

u

dans la base formée des

p

premiers vecteurs de

\mathcal{B}

.

Démonstration bientôt disponible

1.5. Endomorphismes nilpotents et matrices nilpotentes

Définition —Endomorphisme nilpotent

Soit

u

un endomorphisme d'un espace vectoriel. On dit que

u

est nilpotent s'il existe

p \in \mathbb{N}^*

tel que

u^p = 0

.

Le plus petit entier

p \in \mathbb{N}^*

tel que

u^p = 0

est appelé l'indice de nilpotence de

u

.

Remarque

Si

u

est un endomorphisme nilpotent d'indice

p

, alors

u^k = 0

pour tout entier

k \geq p

.

Définition —Matrice nilpotente

Soit

A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})

. On dit que

A

est nilpotente s'il existe

p \in \mathbb{N}^*

tel que

A^p = 0

.

Le plus petit entier

p \in \mathbb{N}^*

tel que

A^p = 0

est appelé l'indice de nilpotence de

A

.

Remarque

Si

A

est une matrice nilpotente d'indice

p

, alors

A^k = 0

pour tout entier

k \geq p

.

Exemple

Toute matrice triangulaire stricte est nilpotente d'indice de nilpotence inférieur ou égal à sa taille.

Exemple

Soit

J = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & & & \ddots & 1 \\ 0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})

. Alors

J

est nilpotente d'indice

n

.

Proposition —Majoration de l'indice de nilpotence

(i) L'indice de nilpotence d'un endomorphisme nilpotent d'un espace vectoriel

E

de dimension finie est inférieur ou égal à

\dim E

.

(ii) L'indice de nilpotence d'une matrice nilpotente de

\mathcal{M}_n(\mathbb{K})

est inférieur ou égal à

n

.

Démonstration bientôt disponible

Exemple

Soit

J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

. Il n'existe pas de matrice

X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{K})

telle que

X^2 = J

. Raisonnons par l'absurde et supposons qu'une telle matrice

X

existe. Alors

X^4 = J^2 = 0

donc

X

est nilpotente. Mais on sait que l'indice de nilpotence de

X

est inférieur ou égal à

2

donc

X^2 = 0

i.e.

J = 0

, ce qui est absurde.

Application

Soit

J = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & & & \ddots & 1 \\ 0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})

. Montrer qu'il n'existe pas de matrice

X \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})

telle que

X^n = J

.

Correction bientôt disponible

Réduction géométrique

1. Rappels et compléments

1.1. Matrices semblables

1.2. Sommes de sous-espaces vectoriels

1.3. Matrices définies par blocs

1.4. Sous-espaces stables

1.5. Endomorphismes nilpotents et matrices nilpotentes