Soient A et B deux matrices de Mn(K). On dit que B est semblable à A si et seulement si il existe P∈GLn(K) telle que B=P−1AP.
Remarque
Pour λ∈K, la seule matrice semblable à λIn est λIn.
Proposition
La relation de similitude («être semblable à») est une relation d'équivalence.
Démonstration bientôt disponible
Remarques
Si deux matrices sont semblables, l'une est inversible si et seulement si l'autre l'est.
Si A et B sont semblables, alors An et Bn sont semblables pour tout n∈N (pour tout n∈Z si A est inversible).
Plus précisément, s'il existe une matrice inversible P telle que B=P−1AP, alors Bn=P−1AnP pour tout n∈N (pour tout n∈Z si A est inversible).
1.2. Sommes de sous-espaces vectoriels
Définition—Somme d'un nombre fini de sous-espaces vectoriels
Soient F1,…,Fp des sous-espaces vectoriels d'un K-espace vectoriel E. On appelle somme de F1,…,Fp le sous-espace vectoriel F1+⋯+Fp=k=1∑pFk={x1+⋯+xp,(x1,…,xp)∈k=1∏pFk}
1.3. Matrices définies par blocs
Encadré—Matrices définies par blocs
Soit A∈Mn,q(K), B∈Mp,q(K), C∈Mn,r(K) et D∈Mp,r(K). On peut définir une matrice M∈Mn+p,q+r(K) à l'aide de ces quatre matrices de la façon suivante : M=(ABCD)
1.4. Sous-espaces stables
Définition—Sous-espace stable
Soient u un endomorphisme d'un K-espace vectoriel E et F un sous-espace vectoriel de E. On dit que F est stable par u si u(F)⊂F.
1.5. Endomorphismes nilpotents et matrices nilpotentes
Définition—Endomorphisme nilpotent
Soit u un endomorphisme d'un espace vectoriel. On dit que u est nilpotent s'il existe p∈N∗ tel que up=0.
Le plus petit entier p∈N∗ tel que up=0 est appelé l'indice de nilpotence de u.
On a k=1∑nFk=vect(k=1⋃nFk). k=1∑nFk est donc le plus petit sous-espace vectoriel contenant F1,…,Fn.
La somme d'espaces vectoriels est associative : si F, G, H sont trois sous-espaces vectoriels, F+G+H=(F+G)+H=F+(G+H)
Définition—Somme directe d'un nombre fini de sous-espaces vectoriels
Soient F1,…,Fp des sous-espaces vectoriels d'un K-espace vectoriel E. On dit que F1,…,Fp sont en somme directe si pour tout x∈k=1∑pFk il existe un unique p-uplet (x1,…,xp)∈k=1∏pFk tel que x=x1+⋯+xp.
La somme de F1,…,Fp est alors notée F1⊕⋯⊕Fp=k=1⨁pFk.
Proposition—Caractérisation d'une somme directe d'un nombre fini de sous-espaces vectoriels
Soient F1,…,Fp des sous-espaces vectoriels d'un K-espace vectoriel E. F1,…,Fp sont en somme directe si et seulement si ∀(x1,…,xp)∈k=1∏pFk,x1+⋯+xp=0E⟹x1=⋯=xp=0E
Démonstration bientôt disponible
Remarque
Si des sous-espaces vectoriels sont en somme directe, ils sont deux à deux en somme directe.
Attention
La réciproque est fausse. Des espaces vectoriels peuvent être deux à deux en somme directe sans que leur somme soit directe. Par exemple, trois droites distinctes coplanaires ont leurs intersections deux à deux nulles sans pour autant qu'elles soient en somme directe.
Remarque
Si (Fi)i∈I est une famille finie de sous-espaces vectoriels en somme directe d'un espace vectoriel E, alors, pour toute partie J de I, (Fi)i∈J est également une famille de sous-espaces vectoriels en somme directe.
De plus, si J1,…,Jr sont des parties deux à deux disjointes de I, alors, en posant Gk=i∈Jk⨁Fi, les sous-espaces vectoriels G1,…,Gr sont encore en somme directe. De plus, i=1⨁rGi=i∈⨆i=1rJi⨁Fi.
Exemple
Si F, G et H sont trois sous-espaces vectoriels en somme directe d'un espace vectoriel E, alors F⊕G⊕H=(F⊕G)⊕H=F⊕(G⊕H)
Définition—Projecteurs associés à une décomposition en somme directe
Soient F1,…,Fr des sous-espaces vectoriels d'un K-espace vectoriel E tels que E=i=1⨁rFi. On note pi le projecteur sur Fi parallèlement à j∈[[1,r]]∖{i}⨁Fj. La famille (p1,…,pr) est appelée famille de projecteurs associée à la décomposition en somme directe E=i=1⨁rFi. On a alors i=1∑rpi=IdE.
Remarque
On constate également que pi∘pj=0 pour i=j.
Proposition—Base d'une somme directe d'un nombre fini de sous-espaces vectoriels
Soient F1,…,Fp des sous-espaces vectoriels d'un K-espace vectoriel E. On suppose qu'il existe des bases F1,…,Fp de F1,…,Fp. Alors la famille B obtenue par concaténation des bases F1,…,Fp est une base de i=1∑pFi si et seulement si F1,…,Fp sont en somme directe.
Dans ce cas, B est dite base adaptée à la somme directe i=1⨁pFi.
Démonstration bientôt disponible
Proposition—Dimension d'une somme d'un nombre fini de sous-espaces vectoriels
Soient F1,…,Fp des sous-espaces vectoriels de dimension finie d'un espace vectoriel E. Alors dim(k=1∑pFk)≤k=1∑pdimFkDe plus, l'inégalité précédente est une égalité si et seulement si F1,…,Fp sont en somme directe.
Démonstration bientôt disponible
Remarque
Soient F1,…,Fp des sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel E de dimension finie. Pour montrer que E=k=1⨁pFk, il suffit de montrer que F1,…,Fp sont en somme directe et que k=1∑pdimFk=dimE.
Proposition
Soient E et F des K-espaces vectoriels et E1,…,Ep des sous-espaces vectoriels de E tels que E=k=1⨁pEk. Soient (u1,…,up)∈k=1∏pL(Ek,F). Il existe une unique application linéaire u∈L(E,F) telle que u∣Ek=uk pour tout k∈[[1,p]].
Démonstration bientôt disponible
Exemple
Soit H un hyperplan de E et a∈E∖H. Il existe une unique forme linéaire sur E tel que kerφ=H et φ(a)=1.
Encadré—Produit de matrices définies par blocs
Le produit de deux matrices définies par blocs s'effectue de la manière suivante : (ABCD)(EFGH)=(AE+CFBE+DFAG+CHBG+DH)
Attention
Il faut bien évidemment que les différentes matrices soient de taille compatible :
le nombre de colonnes de A et B doit être le nombre de lignes de E et G ;
le nombre de colonnes de C et D doit être le nombre de lignes de F et H.
Remarque
La transposée de la matrice (ABCD) est la matrice (A⊤C⊤B⊤D⊤).
Définition—Matrices triangulaires par blocs
On dit qu'une matrice carrée A est triangulaire supérieure par blocs s'il existe une famille de matrices (Ai,j)1≤i≤j≤r de tailles «adéquates» telle que A=A1,10⋮0A1,2A2,2⋱⋯⋯⋱0A1,r⋮Ar−1,rAr,rOn dit qu'une matrice carrée A est triangulaire inférieure par blocs s'il existe une famille de matrices (Ai,j)1≤j≤i≤r de tailles «adéquates» telle que A=A1,1A2,1⋮Ar,10A2,2⋱⋯⋯⋱⋱Ar,r−10⋮0Ar,r
Définition—Matrices diagonales par blocs
On dit qu'une matrice carrée A est diagonale par blocs s'il existe des matrices carrées A1,…,Ar telles que A=A10⋮00A2⋱⋯⋯⋱⋱00⋮0Ar
Proposition—Déterminants par blocs
Le déterminant d'une matrice triangulaire par blocs (et a fortiori diagonale par blocs) est le produit des déterminants des blocs diagonaux.
Démonstration bientôt disponible
Attention
En général ABCD=det(A)det(D)−det(B)det(C).
Encadré—Transvections par blocs
On appelle transvection par blocs une opération transformant une matrice (AB) en une matrice (AB+λA) (si A et B ont le même nombre de colonnes) ou une matrice (AB) en une matrice (AB+λA) (si A et B ont le même nombre de lignes).
Remarque
La première opération correspond à la multiplication à droite par une matrice du type (IpλIp0Ip) et la seconde à la multiplication à gauche par une matrice du type (IpλIp0Ip).
Proposition
Le déterminant d'une matrice carrée est invariant par transvection par blocs.
Démonstration bientôt disponible
Exemple
Soit u un endomorphisme d'un K-espace vectoriel E. Alors keru et Im u sont stables par u.
Remarque
Si F est un sous-espace stable par u∈L(E), alors u induit un endomorphisme uF de F.
Application
Soient u et v deux endomorphismes d'un K-espace vectoriel E qui commutent i.e. u∘v=v∘u. Montrer que si F est un sous-espace vectoriel de E stable par u, alors v(F) est également stable par u.
Correction bientôt disponible
Définition—Base adaptée à un sous-espace vectoriel
Soient E un espace vectoriel de dimension finie et F un sous-espace vectoriel de E. On dit qu'une base de E est adaptée à F si ses premiers éléments forment une base de F.
Proposition—Matrice et stabilité
Soient u un endomorphisme d'un K-espace vectoriel de dimension finie et F un sous-espace vectoriel de E. Une base B de E est adaptée à F si et seulement si la matrice de u dans B est triangulaire par blocs. Plus précisément, en notant n=dimE et p=dimF, il existe A∈Mp(K), B∈Mp,n−p(K) et C∈Mn−p(K) telles que matB(u)=(A0BC). On peut remarquer que A est la matrice de l'endomorphisme de F induit par u dans la base formée des p premiers vecteurs de B.
Démonstration bientôt disponible
Remarque
Si u est un endomorphisme nilpotent d'indice p, alors uk=0 pour tout entier k≥p.
Définition—Matrice nilpotente
Soit A∈Mn(K). On dit que A est nilpotente s'il existe p∈N∗ tel que Ap=0.
Le plus petit entier p∈N∗ tel que Ap=0 est appelé l'indice de nilpotence de A.
Remarque
Si A est une matrice nilpotente d'indice p, alors Ak=0 pour tout entier k≥p.
Exemples
Toute matrice triangulaire stricte est nilpotente d'indice de nilpotence inférieur ou égal à sa taille.
Soit J=0⋮⋮⋮01⋱⋯0⋱⋱⋯⋯⋱⋱⋱⋯0⋮010∈Mn(K). Alors J est nilpotente d'indice n.
Proposition—Majoration de l'indice de nilpotence
(i) L'indice de nilpotence d'un endomorphisme nilpotent d'un espace vectoriel E de dimension finie est inférieur ou égal à dimE.
(ii) L'indice de nilpotence d'une matrice nilpotente de Mn(K) est inférieur ou égal à n.
Démonstration bientôt disponible
Exemple
Soit J=(0010). Il n'existe pas de matrice X∈M2(K) telle que X2=J. Raisonnons par l'absurde et supposons qu'une telle matrice X existe. Alors X4=J2=0 donc X est nilpotente. Mais on sait que l'indice de nilpotence de X est inférieur ou égal à 2 donc X2=0 i.e. J=0, ce qui est absurde.
Application
Soit J=0⋮⋮⋮01⋱⋯0⋱⋱⋯⋯⋱⋱⋱⋯0⋮010∈Mn(K). Montrer qu'il n'existe pas de matrice X∈Mn(K) telle que Xn=J.
