The Maths Tailor

THE MATHS TAILOR

1. Généralités

1.1. Définitions

Définition—Relation binaire

On appelle relation binaire sur un ensemble

E

toute partie

R

E^{2}

. Pour

(x, y) \in E^{2}

, la proposition

(x, y) \in R

se notera alors plutôt

x R y

et on dira dans ce cas que

x

est en relation avec

y

Encadré—Point de vue « naïf »

Une relation binaire

R

définie sur un ensemble

E

peut également être vue comme une propriété que chaque couple

(x, y) \in E^{2}

est susceptible d'avoir ou non. C'est souvent le point de vue qu'on adopte en pratique.

Exemple

$<$ , $>$ , $\leq$ , $\geq$ définissent des relations binaires sur $N$ , $Z$ , $Q$ , $R$ .
La relation de divisibilité $∣$ est une relation binaire sur $N$ , $Z$ .
Soit $p \in Z$ . La relation $\equiv_{p}$ définie sur $Z$ par $x \equiv_{p} y ⟺ p ∣ x - y$ est une relation binaire sur $Z$ .
Soit $a \in R$ . La relation $\equiv_{a}$ définie sur $R$ par $x \equiv_{a} y ⟺ \exists k \in Z, y = x + k a$ est une relation binaire sur $R$ .

Définition—Propriétés d'une relation binaire

Soit

R

une relation binaire sur un ensemble

E

On dit que $R$ est réflexive si pour tout $x \in E$ , $x R x$ .
On dit que $R$ est symétrique si pour tout $(x, y) \in E^{2}$ , $x R y ⟺ y R x$ .
On dit que $R$ est antisymétrique si pour tout $(x, y) \in E^{2}$ , $(x R y et y R x) ⟹ x = y$ .
On dit que $R$ est transitive si pour tout $(x, y, z) \in E^{3}$ , $(x R y et y R z) ⟹ x R z$ .

Exemple

Les relations $\leq$ , $\geq$ sont réflexives, antisymétriques et transitives sur $R$ .
Les relations $<$ , $>$ sont transitives sur $R$ .
La relation $∣$ est réflexive sur $N$ et $Z$ , antisymétrique sur $N$ et non sur $Z$ , et transitive sur $N$ et $Z$ .
La relation $\equiv_{p}$ est réflexive, symétrique et transitive sur $Z$ .
La relation $\equiv_{a}$ est réflexive, symétrique et transitive sur $R$ .
La relation « être équivalent en $a$ » est une relation réflexive, symétrique et transitive sur les fonctions définies au voisinage de $a$ .
La relation « être négligeable en $a$ » est une relation transitive sur les fonctions définies au voisinage de $a$ .
La relation « être dominée en $a$ » est une relation réflexive et transitive sur les fonctions définies au voisinage de $a$ .
Les relations $\subset$ , $\supset$ sont des relations réflexives, antisymétriques et transitives sur $P (E)$ où $E$ est un ensemble.

1. Généralités

1.1. Définitions

Définition—Relation binaire

On appelle relation binaire sur un ensemble

E

toute partie

R

E^{2}

. Pour

(x, y) \in E^{2}

, la proposition

(x, y) \in R

se notera alors plutôt

x R y

et on dira dans ce cas que

x

est en relation avec

y

Encadré—Point de vue « naïf »

Une relation binaire

R

définie sur un ensemble

E

peut également être vue comme une propriété que chaque couple

(x, y) \in E^{2}

est susceptible d'avoir ou non. C'est souvent le point de vue qu'on adopte en pratique.

Exemple

$<$ , $>$ , $\leq$ , $\geq$ définissent des relations binaires sur $N$ , $Z$ , $Q$ , $R$ .
La relation de divisibilité $∣$ est une relation binaire sur $N$ , $Z$ .
Soit $p \in Z$ . La relation $\equiv_{p}$ définie sur $Z$ par $x \equiv_{p} y ⟺ p ∣ x - y$ est une relation binaire sur $Z$ .
Soit $a \in R$ . La relation $\equiv_{a}$ définie sur $R$ par $x \equiv_{a} y ⟺ \exists k \in Z, y = x + k a$ est une relation binaire sur $R$ .

Définition—Propriétés d'une relation binaire

Soit

R

une relation binaire sur un ensemble

E

On dit que $R$ est réflexive si pour tout $x \in E$ , $x R x$ .
On dit que $R$ est symétrique si pour tout $(x, y) \in E^{2}$ , $x R y ⟺ y R x$ .
On dit que $R$ est antisymétrique si pour tout $(x, y) \in E^{2}$ , $(x R y et y R x) ⟹ x = y$ .
On dit que $R$ est transitive si pour tout $(x, y, z) \in E^{3}$ , $(x R y et y R z) ⟹ x R z$ .

Exemple

Les relations $\leq$ , $\geq$ sont réflexives, antisymétriques et transitives sur $R$ .
Les relations $<$ , $>$ sont transitives sur $R$ .
La relation $∣$ est réflexive sur $N$ et $Z$ , antisymétrique sur $N$ et non sur $Z$ , et transitive sur $N$ et $Z$ .
La relation $\equiv_{p}$ est réflexive, symétrique et transitive sur $Z$ .
La relation $\equiv_{a}$ est réflexive, symétrique et transitive sur $R$ .
La relation « être équivalent en $a$ » est une relation réflexive, symétrique et transitive sur les fonctions définies au voisinage de $a$ .
La relation « être négligeable en $a$ » est une relation transitive sur les fonctions définies au voisinage de $a$ .
La relation « être dominée en $a$ » est une relation réflexive et transitive sur les fonctions définies au voisinage de $a$ .
Les relations $\subset$ , $\supset$ sont des relations réflexives, antisymétriques et transitives sur $P (E)$ où $E$ est un ensemble.

Relations binaires

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1.1. Définitions

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1.1. Définitions