The Maths Tailor

THE MATHS TAILOR

1. Généralités

1.1. Définitions

Définition—Relation binaire

On appelle relation binaire sur un ensemble

E

toute partie

\mathcal{R}

E^2

. Pour

(x, y) \in E^2

, la proposition

(x, y) \in \mathcal{R}

se notera alors plutôt

x\mathcal{R}y

et on dira dans ce cas que

x

est en relation avec

y

Encadré—Point de vue « naïf »

Une relation binaire

\mathcal{R}

définie sur un ensemble

E

peut également être vue comme une propriété que chaque couple

(x, y) \in E^2

est susceptible d'avoir ou non. C'est souvent le point de vue qu'on adopte en pratique.

Exemple

$<$ , $>$ , $\leq$ , $\geq$ définissent des relations binaires sur $\mathbb{N}$ , $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{R}$ .
La relation de divisibilité $\mid$ est une relation binaire sur $\mathbb{N}$ , $\mathbb{Z}$ .
Soit $p \in \mathbb{Z}$ . La relation $\equiv_p$ définie sur $\mathbb{Z}$ par $x \equiv_p y \iff p \mid x - y$ est une relation binaire sur $\mathbb{Z}$ .
Soit $a \in \mathbb{R}$ . La relation $\equiv_a$ définie sur $\mathbb{R}$ par $x \equiv_a y \iff \exists k \in \mathbb{Z}, y = x + ka$ est une relation binaire sur $\mathbb{R}$ .

Définition

Soit

\mathcal{R}

une relation binaire sur un ensemble

E

On dit que $\mathcal{R}$ est réflexive si pour tout $x \in E$ , $x\mathcal{R}x$ .
On dit que $\mathcal{R}$ est symétrique si pour tout $(x, y) \in E^2$ , $x\mathcal{R}y \iff y\mathcal{R}x$ .
On dit que $\mathcal{R}$ est antisymétrique si pour tout $(x, y) \in E^2$ , $(x\mathcal{R}y \text{ et } y\mathcal{R}x) \implies x = y$ .
On dit que $\mathcal{R}$ est transitive si pour tout $(x, y, z) \in E^3$ , $(x\mathcal{R}y \text{ et } y\mathcal{R}z) \implies x\mathcal{R}z$ .

Exemple

Les relations $\leq$ , $\geq$ sont réflexives, antisymétriques et transitives sur $\mathbb{R}$ .
Les relations $<$ , $>$ sont transitives sur $\mathbb{R}$ .
La relation $\mid$ est réflexive sur $\mathbb{N}$ et $\mathbb{Z}$ , antisymétrique sur $\mathbb{N}$ et non sur $\mathbb{Z}$ , et transitive sur $\mathbb{N}$ et $\mathbb{Z}$ .
La relation $\equiv_p$ est réflexive, symétrique et transitive sur $\mathbb{Z}$ .
La relation $\equiv_a$ est réflexive, symétrique et transitive sur $\mathbb{R}$ .
La relation « être équivalent en $a$ » est une relation réflexive, symétrique et transitive sur les fonctions définies au voisinage de $a$ .
La relation « être négligeable en $a$ » est une relation transitive sur les fonctions définies au voisinage de $a$ .
La relation « être dominée en $a$ » est une relation réflexive et transitive sur les fonctions définies au voisinage de $a$ .
Les relations $\subset$ , $\supset$ sont des relations réflexives, antisymétriques et transitives sur $\mathcal{P}(E)$ où $E$ est un ensemble.

1. Généralités

1.1. Définitions

Définition—Relation binaire

On appelle relation binaire sur un ensemble

E

toute partie

\mathcal{R}

E^2

. Pour

(x, y) \in E^2

, la proposition

(x, y) \in \mathcal{R}

se notera alors plutôt

x\mathcal{R}y

et on dira dans ce cas que

x

est en relation avec

y

Encadré—Point de vue « naïf »

Une relation binaire

\mathcal{R}

définie sur un ensemble

E

peut également être vue comme une propriété que chaque couple

(x, y) \in E^2

est susceptible d'avoir ou non. C'est souvent le point de vue qu'on adopte en pratique.

Exemple

$<$ , $>$ , $\leq$ , $\geq$ définissent des relations binaires sur $\mathbb{N}$ , $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{R}$ .
La relation de divisibilité $\mid$ est une relation binaire sur $\mathbb{N}$ , $\mathbb{Z}$ .
Soit $p \in \mathbb{Z}$ . La relation $\equiv_p$ définie sur $\mathbb{Z}$ par $x \equiv_p y \iff p \mid x - y$ est une relation binaire sur $\mathbb{Z}$ .
Soit $a \in \mathbb{R}$ . La relation $\equiv_a$ définie sur $\mathbb{R}$ par $x \equiv_a y \iff \exists k \in \mathbb{Z}, y = x + ka$ est une relation binaire sur $\mathbb{R}$ .

Définition

Soit

\mathcal{R}

une relation binaire sur un ensemble

E

On dit que $\mathcal{R}$ est réflexive si pour tout $x \in E$ , $x\mathcal{R}x$ .
On dit que $\mathcal{R}$ est symétrique si pour tout $(x, y) \in E^2$ , $x\mathcal{R}y \iff y\mathcal{R}x$ .
On dit que $\mathcal{R}$ est antisymétrique si pour tout $(x, y) \in E^2$ , $(x\mathcal{R}y \text{ et } y\mathcal{R}x) \implies x = y$ .
On dit que $\mathcal{R}$ est transitive si pour tout $(x, y, z) \in E^3$ , $(x\mathcal{R}y \text{ et } y\mathcal{R}z) \implies x\mathcal{R}z$ .

Exemple

Les relations $\leq$ , $\geq$ sont réflexives, antisymétriques et transitives sur $\mathbb{R}$ .
Les relations $<$ , $>$ sont transitives sur $\mathbb{R}$ .
La relation $\mid$ est réflexive sur $\mathbb{N}$ et $\mathbb{Z}$ , antisymétrique sur $\mathbb{N}$ et non sur $\mathbb{Z}$ , et transitive sur $\mathbb{N}$ et $\mathbb{Z}$ .
La relation $\equiv_p$ est réflexive, symétrique et transitive sur $\mathbb{Z}$ .
La relation $\equiv_a$ est réflexive, symétrique et transitive sur $\mathbb{R}$ .
La relation « être équivalent en $a$ » est une relation réflexive, symétrique et transitive sur les fonctions définies au voisinage de $a$ .
La relation « être négligeable en $a$ » est une relation transitive sur les fonctions définies au voisinage de $a$ .
La relation « être dominée en $a$ » est une relation réflexive et transitive sur les fonctions définies au voisinage de $a$ .
Les relations $\subset$ , $\supset$ sont des relations réflexives, antisymétriques et transitives sur $\mathcal{P}(E)$ où $E$ est un ensemble.

Relations binaires

1. Généralités

1.1. Définitions

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