The Maths Tailor

THE MATHS TAILOR

1. Comparaison à une série géométrique

1.1. Règle de d'Alembert

Proposition—Règle de d'Alembert

Soit

(a_n)

une suite de complexes non nuls (au moins à partir d'un certain rang). On suppose que

\dfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ell \in \mathbb{R}_+ \cup \{+\infty\}

.

• Si

\ell < 1

, alors

\sum a_n

converge absolument.

• Si

\ell > 1

, alors

\sum a_n

diverge grossièrement.

Démonstration bientôt disponible

Exemple

La série

\displaystyle\sum_{n \in \mathbb{N}} \dfrac{n!}{n^n}

converge.

Remarque

On ne peut a priori pas conclure si

\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = 1

ou si la suite de terme général

\dfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|}

n'admet pas de limite.

Exemple

Posons

a_n = 1

b_n = \dfrac{1}{(n+1)^2}

pour

n \in \mathbb{N}

. Alors

\lim_{n \to +\infty} \dfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{|b_{n+1}|}{|b_n|} = 1

mais

\displaystyle\sum_{n \in \mathbb{N}} a_n

diverge tandis que

\displaystyle\sum_{n \in \mathbb{N}} b_n

converge.

Attention

Il s'agit bien de limites dans l'énoncé de la règle de d'Alembert. Le fait d'avoir

\dfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|} < 1

\dfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|} > 1

ne permet pas de conclure. En prenant

a_n = \dfrac{1}{n}

pour tout

n \in \mathbb{N}^*

, on a

\dfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|} < 1

pour tout

n \in \mathbb{N}^*

mais la série

\displaystyle\sum_{n \in \mathbb{N}^*} a_n

diverge.

Exemple—Série exponentielle

Pour tout

z \in \mathbb{C}

, la série exponentielle

\displaystyle\sum_{n \in \mathbb{N}} \dfrac{z^n}{n!}

converge absolument.

1. Comparaison à une série géométrique

1.1. Règle de d'Alembert

Proposition—Règle de d'Alembert

Soit

(a_n)

une suite de complexes non nuls (au moins à partir d'un certain rang). On suppose que

\dfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ell \in \mathbb{R}_+ \cup \{+\infty\}

.

• Si

\ell < 1

, alors

\sum a_n

converge absolument.

• Si

\ell > 1

, alors

\sum a_n

diverge grossièrement.

Démonstration bientôt disponible

Exemple

La série

\displaystyle\sum_{n \in \mathbb{N}} \dfrac{n!}{n^n}

converge.

Remarque

On ne peut a priori pas conclure si

\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = 1

ou si la suite de terme général

\dfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|}

n'admet pas de limite.

Exemple

Posons

a_n = 1

b_n = \dfrac{1}{(n+1)^2}

pour

n \in \mathbb{N}

. Alors

\lim_{n \to +\infty} \dfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{|b_{n+1}|}{|b_n|} = 1

mais

\displaystyle\sum_{n \in \mathbb{N}} a_n

diverge tandis que

\displaystyle\sum_{n \in \mathbb{N}} b_n

converge.

Attention

Il s'agit bien de limites dans l'énoncé de la règle de d'Alembert. Le fait d'avoir

\dfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|} < 1

\dfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|} > 1

ne permet pas de conclure. En prenant

a_n = \dfrac{1}{n}

pour tout

n \in \mathbb{N}^*

, on a

\dfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|} < 1

pour tout

n \in \mathbb{N}^*

mais la série

\displaystyle\sum_{n \in \mathbb{N}^*} a_n

diverge.

Exemple—Série exponentielle

Pour tout

z \in \mathbb{C}

, la série exponentielle

\displaystyle\sum_{n \in \mathbb{N}} \dfrac{z^n}{n!}

converge absolument.

Séries numériques

1. Comparaison à une série géométrique

1.1. Règle de d'Alembert

1. Comparaison à une série géométrique

1.1. Règle de d'Alembert