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Cours
— 3 sections
1
Comparaison à une série géométrique
1. Comparaison à une série géométrique
1.1. Règle de d'Alembert
Proposition
—
Règle de d'Alembert
Soit
(
a
n
)
(a_n)
(
a
n
)
une suite de complexes non nuls (au moins à partir d'un certain rang). On suppose que
∣
a
n
+
1
∣
∣
a
n
∣
→
n
→
+
∞
ℓ
∈
R
+
∪
{
+
∞
}
\dfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ell \in \mathbb{R}_+ \cup \{+\infty\}
∣
a
n
∣
∣
a
n
+
1
∣
n
→
+
∞
ℓ
∈
R
+
∪
{
+
∞
}
.
• Si
ℓ
<
1
\ell < 1
ℓ
<
1
, alors
∑
a
n
\sum a_n
∑
a
n
converge absolument.
• Si
ℓ
>
1
\ell > 1
ℓ
>
1
, alors
∑
a
n
\sum a_n
∑
a
n
diverge grossièrement.
Démonstration bientôt disponible
Exemple
La série
∑
n
∈
N
n
!
n
n
\displaystyle\sum_{n \in \mathbb{N}} \dfrac{n!}{n^n}
n
∈
N
∑
n
n
n
!
converge.
Remarque
On ne peut a priori pas conclure si
lim
n
→
+
∞
∣
a
n
+
1
∣
∣
a
n
∣
=
1
\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = 1
n
→
+
∞
lim
∣
a
n
∣
∣
a
n
+
1
∣
=
1
ou si la suite de terme général
∣
a
n
+
1
∣
∣
a
n
∣
\dfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|}
∣
a
n
∣
∣
a
n
+
1
∣
n'admet pas de limite.
Exemple
Posons
a
n
=
1
a_n = 1
a
n
=
1
et
b
n
=
1
(
n
+
1
)
2
b_n = \dfrac{1}{(n+1)^2}
b
n
=
(
n
+
1
)
2
1
pour
n
∈
N
n \in \mathbb{N}
n
∈
N
. Alors
lim
n
→
+
∞
∣
a
n
+
1
∣
∣
a
n
∣
=
lim
n
→
+
∞
∣
b
n
+
1
∣
∣
b
n
∣
=
1
\lim_{n \to +\infty} \dfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{|b_{n+1}|}{|b_n|} = 1
n
→
+
∞
lim
∣
a
n
∣
∣
a
n
+
1
∣
=
n
→
+
∞
lim
∣
b
n
∣
∣
b
n
+
1
∣
=
1
mais
∑
n
∈
N
a
n
\displaystyle\sum_{n \in \mathbb{N}} a_n
n
∈
N
∑
a
n
diverge tandis que
∑
n
∈
N
b
n
\displaystyle\sum_{n \in \mathbb{N}} b_n
n
∈
N
∑
b
n
converge.
Attention
Il s'agit bien de limites dans l'énoncé de la règle de d'Alembert. Le fait d'avoir
∣
a
n
+
1
∣
∣
a
n
∣
<
1
\dfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|} < 1
∣
a
n
∣
∣
a
n
+
1
∣
<
1
ou
∣
a
n
+
1
∣
∣
a
n
∣
>
1
\dfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|} > 1
∣
a
n
∣
∣
a
n
+
1
∣
>
1
ne permet pas de conclure. En prenant
a
n
=
1
n
a_n = \dfrac{1}{n}
a
n
=
n
1
pour tout
n
∈
N
∗
n \in \mathbb{N}^*
n
∈
N
∗
, on a
∣
a
n
+
1
∣
∣
a
n
∣
<
1
\dfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|} < 1
∣
a
n
∣
∣
a
n
+
1
∣
<
1
pour tout
n
∈
N
∗
n \in \mathbb{N}^*
n
∈
N
∗
mais la série
∑
n
∈
N
∗
a
n
\displaystyle\sum_{n \in \mathbb{N}^*} a_n
n
∈
N
∗
∑
a
n
diverge.
Exemple
—
Série exponentielle
Pour tout
z
∈
C
z \in \mathbb{C}
z
∈
C
, la série exponentielle
∑
n
∈
N
z
n
n
!
\displaystyle\sum_{n \in \mathbb{N}} \dfrac{z^n}{n!}
n
∈
N
∑
n
!
z
n
converge absolument.
2
Comparaison série-intégrale
3
Sommation des relations de comparaison
MC
Demontrer qu'une serie a termes de signe constant converge
MC
Demontrer qu'une serie a termes de signe constant diverge
MC
Demontrer qu'une serie a terme quelconque converge ou diverge
MC
Encadrer ou obtenir un equivalent des sommes partielles, des restes
Réflexe
Etudier une suite a l'aide des series
Cours
1
Comparaison à une série géométrique
2
Comparaison série-intégrale
3
Sommation des relations de comparaison
Méthodes
5
MC
Demontrer qu'une serie a termes de signe constant converge
Méthode complète avec le plan Élève
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MC
Demontrer qu'une serie a termes de signe constant diverge
Méthode complète avec le plan Élève
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Demontrer qu'une serie a terme quelconque converge ou diverge
Méthode complète avec le plan Élève
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MC
Encadrer ou obtenir un equivalent des sommes partielles, des restes
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