Séries numériques

Identification comme série télescopique. On remarque que pour tout $n\ge 1$,$$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$$par décomposition en éléments simples (ou par vérification directe). Ainsi $u_n=v_n-v_{n+1}$ avec $v_n=\frac{1}{n}$, ce qui est de la forme d'une série télescopique (d'après l'Exemple 1.4, avec $u_n=v_n-v_{n-1}$ adaptée ici au décalage).

Calcul de la somme partielle. La somme partielle de rang $n$ de la série $\sum _{n\ge 1}\frac{1}{n(n+1)}$ est :$$S_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}=\sum _{k=1}^n\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=1-\frac{1}{n+1}$$par télescopage (les termes intermédiaires se simplifient deux à deux).

Convergence et somme. D'après la Définition 1.2, la série converge si et seulement si la suite $(S_n)$ converge. Or :$$\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=1$$Donc la série $\sum _{n\ge 1}\frac{1}{n(n+1)}$ converge et, d'après la Définition 1.3 :$$\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n(n+1)}=1$$

1. Convergence et somme de $\sum _{n\ge 0}\frac{x^n}{n!}$. Fixons $x\in \mathbb{R}$. La fonction $t\mapsto e^t$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée d'ordre $n$ est $t\mapsto e^t$. L'inégalité de Taylor-Lagrange donne, pour tout $n\in \mathbb{N}$, en appliquant le développement de $e^t$ au point $0$ évalué en $t=x$ :$$\left|e^x-\sum _{k=0}^n\frac{x^k}{k!}\right|\le \frac{|x{|}^{n+1}}{(n+1)!}{e}^{|x|}$$Or $\frac{|x{|}^{n+1}}{(n+1)!}\to 0$ quand $n\to +\infty$ (terme général d'une série convergente, par exemple $\sum \frac{|x{|}^n}{n!}$ dont la convergence peut être montrée par la règle de d'Alembert). Donc la suite des restes tend vers $0$, et par définition :$$\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{x^n}{n!}=e^x$$2. Séries de cosinus et de sinus. Fixons $x\in \mathbb{R}$. La fonction $t\mapsto \cos t$ est ${\mathcal{C}}^{\infty }$, avec ${\cos }^{(2k)}(0)=(-1{)}^k$ et ${\cos }^{(2k+1)}(0)=0$. L'inégalité de Taylor-Lagrange donne :$$\left|\cos x-\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k{x}^{2k}}{(2k)!}\right|\le \frac{|x{|}^{2n+2}}{(2n+2)!}$$ce qui tend vers $0$, donc $\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{(2n)!}=\cos x$. De même, pour $\sin x$, l'inégalité de Taylor-Lagrange donne $\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}=\sin x$.

3. Série de logarithme sur $[0,1]$. Fixons $x\in [0,1]$. La fonction $t\mapsto \ln (1+t)$ est ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur $(-1,+\infty )$, avec $\ln (1+t{)}^{(n)}{|}_{t=0}=(-1{)}^{n-1}(n-1)!$ pour $n\ge 1$. L'inégalité de Taylor-Lagrange donne :$$\left|\ln (1+x)-\sum _{k=1}^n\frac{(-1{)}^{k-1}{x}^k}{k}\right|\le \frac{x^{n+1}}{n+1}\cdot \frac{1}{(1+\theta x{)}^{n+1}}$$pour un certain $\theta \in (0,1)$. Pour $x\in [0,1]$, $(1+\theta x{)}^{n+1}\ge 1$, donc le reste est majoré par $\frac{x^{n+1}}{n+1}\le \frac{1}{n+1}\to 0$. Ainsi $\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}{x}^n}{n}=\ln (1+x)$ pour $x\in [0,1]$.

Convergence de $\sum \frac{(ix{)}^n}{n!}$. Fixons $x\in \mathbb{R}$. On a $|\frac{(ix{)}^n}{n!}|=\frac{|x{|}^n}{n!}$, et la série $\sum \frac{|x{|}^n}{n!}$ converge vers $e^{|x|}$ d'après la Proposition 1.7 (série exponentielle). Donc la série $\sum \frac{(ix{)}^n}{n!}$ est absolument convergente, donc convergente par le Théorème 3.1.

Identification de la somme. On décompose en parties réelle et imaginaire. D'après la Proposition 1.3 :$$\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{(ix{)}^n}{n!}=\sum _{n=0}^{+\infty }\mathrm{Re}\left(\frac{(ix{)}^n}{n!}\right)+i\sum _{n=0}^{+\infty }\mathrm{Im}\left(\frac{(ix{)}^n}{n!}\right)$$Or $(ix{)}^n=i^n{x}^n$, avec $i^{2k}=(-1{)}^k$ et $i^{2k+1}=i(-1{)}^k$. Donc :$$\mathrm{Re}\left(\frac{(ix{)}^n}{n!}\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{(-1{)}^k{x}^{2k}}{(2k)!}& \text{si }n=2k\\ & \\ 0& \text{si }n=2k+1\end{array},\mathrm{Im}\left(\frac{(ix{)}^n}{n!}\right)=\{\begin{array}{ll}0& \text{si }n=2k\\ & \\ \frac{(-1{)}^k{x}^{2k+1}}{(2k+1)!}& \text{si }n=2k+1\end{array}$$Donc, en séparant les termes pairs et impairs :$$\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{(ix{)}^n}{n!}=\sum _{k=0}^{+\infty }\frac{(-1{)}^k{x}^{2k}}{(2k)!}+i\sum _{k=0}^{+\infty }\frac{(-1{)}^k{x}^{2k+1}}{(2k+1)!}$$D'après l'Exercice 1.2 (question 2), $\sum _{k=0}^{+\infty }\frac{(-1{)}^k{x}^{2k}}{(2k)!}=\cos x$ et $\sum _{k=0}^{+\infty }\frac{(-1{)}^k{x}^{2k+1}}{(2k+1)!}=\sin x$.

Ainsi $\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{(ix{)}^n}{n!}=\cos x+i\sin x=e^{ix}$ (formule d'Euler).

Conclusion. La série $\sum _{n\in \mathbb{N}}\frac{(ix{)}^n}{n!}$ converge et a pour somme $e^{ix}$. Les séries $\sum _{n\in \mathbb{N}}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{(2n)!}$ et $\sum _{n\in \mathbb{N}}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}$ convergent et ont pour sommes respectives $\cos x$ et $\sin x$.

Cas $|q|\ge 1$. Si $|q|\ge 1$, le terme général $n{q}^n$ vérifie $|n{q}^n|=n|q{|}^n\ge n\to +\infty$. En particulier $(n{q}^n)$ ne converge pas vers $0$, donc la série $\sum n{q}^n$ diverge grossièrement (Définition 1.4, Proposition 1.5).

Cas $|q|<1$. Montrons que la série $\sum n{q}^n$ converge. D'après la Proposition 1.6, la série géométrique $\sum _{n\in \mathbb{N}}{q}^n$ converge avec $\sum _{n=0}^{+\infty }{q}^n=\frac{1}{1-q}$. On cherche à calculer $\sum n{q}^n$ en utilisant la dérivation terme à terme.

On note que, pour $|q|<1$ et $N\in \mathbb{N}$ :$$\sum _{n=0}^{N}n{q}^n=q\frac{d}{dq}\sum _{n=0}^N{q}^n=q\frac{d}{dq}\frac{1-q^{N+1}}{1-q}$$On calcule directement la somme partielle de $\sum n{q}^n$ via l'astuce suivante. On sait que $S_N=\sum _{n=0}^N{q}^n=\frac{1-q^{N+1}}{1-q}$. En dérivant par rapport à $q$ :$$\sum _{n=1}^{N}n{q}^{n-1}=\frac{d}{dq}{S}_N$$Alternativement, on pose $T_N=\sum _{n=0}^{N}n{q}^n$. Alors :$$T_N=q{S}_N^{\prime }=q\cdot \frac{d}{dq}\left(\frac{1-q^{N+1}}{1-q}\right)=q\cdot \frac{-(N+1)q^N(1-q)+(1-q^{N+1})}{(1-q{)}^2}$$Quand $N\to +\infty$, puisque $|q|<1$, on a $q^N\to 0$ et $(N+1)q^N\to 0$ (par croissances comparées). Donc :$$T_N\to q\cdot \frac{1}{(1-q{)}^2}=\frac{q}{(1-q{)}^2}$$Conclusion. La série $\sum _{n\in \mathbb{N}}n{q}^n$ converge si et seulement si $|q|<1$, et dans ce cas :$$\sum _{n=0}^{+\infty }n{q}^n=\frac{q}{(1-q{)}^2}$$