Suites Arithmétiques et Suites Géométriques

THE MATHS TAILOR

1. Suites arithmétiques

1.1. Définition

Exemple—Exemple d'introduction

Considérons la suite

(u_{n})

où l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant

5

.

Si le premier terme est égal à

3

, les termes suivants sont :

u_{0} = 3, u_{1} = 8, u_{2} = 13, u_{3} = 18.

Une telle suite est appelée une suite arithmétique de raison

5

et de premier terme

3

.

La suite est donc définie par :

{u_{0} = 3 u_{n + 1} = u_{n} + 5

Définition—Suite arithmétique

Une suite

(u_{n})

est une suite arithmétique s'il existe un nombre

r

tel que pour tout entier

n

, on a :

u_{n + 1} = u_{n} + r .

Le nombre

r

est appelé raison de la suite.

Remarque

La raison peut être un nombre négatif. On peut par exemple ajouter

- 2

Méthode—Démontrer qu'une suite est arithmétique

a) La suite

(u_{n})

définie par :

u_{n} = 7 - 9 n

est-elle arithmétique ?

b) La suite

(v_{n})

définie par :

v_{n} = n^{2} + 3

est-elle arithmétique ?

---

Correction

a)

u_{n + 1} - u_{n} = 7 - 9 (n + 1) - (7 - 9 n)

= 7 - 9 n - 9 - 7 + 9 n = - 9.

La différence entre deux termes successifs reste constante et égale à

- 9

, donc on passe d'un terme au suivant en ajoutant

- 9

(u_{n})

est une suite arithmétique de raison

- 9

.

b)

v_{n + 1} - v_{n} = (n + 1)^{2} + 3 - (n^{2} + 3)

= n^{2} + 2 n + 1 + 3 - n^{2} - 3 = 2 n + 1.

La différence entre un terme et son précédent n'est pas constante car elle dépend de

n

(v_{n})

n'est pas une suite arithmétique.

Proposition—Expression générale d'une suite arithmétique

(u_{n})

est une suite arithmétique de raison

r

et de premier terme

u_{0}

.

Pour tout entier naturel

n

, on a :

u_{n} = u_{0} + n r

Encadré—Démonstration au programme

La suite arithmétique

(u_{n})

de raison

r

et de premier terme

u_{0}

vérifie la relation

u_{n + 1} = u_{n} + r

.

En calculant les premiers termes :

u_{1} u_{2} u_{3} u_{n} = u_{0} + r = u_{1} + r = u_{2} + r ⋮ = u_{n - 1} + r

En additionnant membre à membre ces

n

égalités, on obtient :

u_{1} + u_{2} + u_{3} + \dots + u_{n} = u_{0} + u_{1} + u_{2} + \dots + u_{n - 1} + n \times r

Soit, en retranchant aux deux membres les termes identiques :

u_{n} = u_{0} + n r

Méthode—Déterminer une expression en fonction de

n

d'une suite arithmétique

a) Déterminer l'expression, en fonction de

n

, de la suite arithmétique définie par :

{u_{0} = 7 u_{n + 1} = u_{n} - 4

b) Déterminer l'expression, en fonction de

n

, de la suite arithmétique définie par :

{u_{1} = 5 u_{n + 1} = u_{n} + 3

---

Correction

a) On a :

u_{0} = 7

u_{n + 1} = u_{n} - 4

On passe d'un terme au suivant en ajoutant

- 4

, et donc la raison

r

est égale à

- 4

et le premier terme

u_{0}

est égal à

7

.

Ainsi :

u_{n} = u_{0} + n r = 7 + n \times (- 4) = 7 - 4 n

b) On a :

u_{1} = 5

u_{n + 1} = u_{n} + 3

On passe d'un terme au suivant en ajoutant

3

, donc la raison

r

est égale à

3

.

Ici, le terme

u_{0}

n'est pas donné mais on peut le calculer.

Pour passer de

u_{1}

u_{0}

, on retire

3

(« marche arrière ») donc

u_{0} = u_{1} - 3 = 5 - 3 = 2

.

Ainsi :

u_{n} = u_{0} + n r = 2 + 3 n

Attention

Il peut être pratique d'appliquer directement la formule :

u_{n} = u_{1} + (n - 1) r

Méthode—Déterminer la raison et le premier terme d'une suite arithmétique

Considérons la suite arithmétique

(u_{n})

tel que

u_{5} = 7

u_{9} = 19

.

a) Déterminer la raison et le premier terme de la suite

(u_{n})

.

b) Exprimer

u_{n}

en fonction de

n

.

---

Correction

a) Les termes de la suite sont de la forme

u_{n} = u_{0} + n r

Ainsi :

{u_{5} = u_{0} + 5 r u_{9} = u_{0} + 9 r \Leftrightarrow {7 = u_{0} + 5 r 19 = u_{0} + 9 r

On soustrait membre à membre :

7 - 19 = u_{0} + 5 r - u_{0} - 9 r

- 12 = - 4 r

r = \frac{- 12}{- 4} = 3

Comme

u_{0} + 5 r = 7

, on a :

u_{0} + 5 \times 3 = 7

u_{0} = 7 - 15 = - 8

u_{n} = u_{0} + n r = - 8 + n \times 3 = 3 n - 8

1.2. Sens de variation

Proposition—Sens de variation d'une suite arithmétique

(u_{n})

est une suite arithmétique de raison

r

.

- Si

r > 0

alors la suite

(u_{n})

est croissante.
- Si

r < 0

alors la suite

(u_{n})

est décroissante.

1.3. Représentation graphique

Remarque

Les points de la représentation graphique d'une suite arithmétique sont alignés.

Exemple

On a représenté ci-dessous la suite arithmétique de raison

- 0, 5

et de premier terme

4

Encadré—RÉSUMÉ - Suites arithmétiques

(u_{n})

une suite arithmétique de raison

r

et de premier terme

u_{0}

.

Exemple :

r = - 0, 5

u_{0} = 4

Propriété	Formule	Exemple
Définition	$u_{n + 1} = u_{n} + r$	$u_{n + 1} = u_{n} - 0, 5$
	La différence entre un terme et son précédent est égale à $- 0, 5$ .
Propriété	$u_{n} = u_{0} + n r$	$u_{n} = 4 - 0, 5 n$
Sens de variation	Si $r > 0$ : $(u_{n})$ est croissante.	$r = - 0, 5 < 0$
	Si $r < 0$ : $(u_{n})$ est décroissante.	La suite $(u_{n})$ est décroissante.
Représentation graphique	Les points de la représentation graphique sont alignés.
	La croissance est linéaire.

1. Suites arithmétiques

1.1. Définition

Exemple—Exemple d'introduction

Considérons la suite

(u_{n})

où l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant

5

.

Si le premier terme est égal à

3

, les termes suivants sont :

u_{0} = 3, u_{1} = 8, u_{2} = 13, u_{3} = 18.

Une telle suite est appelée une suite arithmétique de raison

5

et de premier terme

3

.

La suite est donc définie par :

{u_{0} = 3 u_{n + 1} = u_{n} + 5

Définition—Suite arithmétique

Une suite

(u_{n})

est une suite arithmétique s'il existe un nombre

r

tel que pour tout entier

n

, on a :

u_{n + 1} = u_{n} + r .

Le nombre

r

est appelé raison de la suite.

Remarque

La raison peut être un nombre négatif. On peut par exemple ajouter

- 2

Méthode—Démontrer qu'une suite est arithmétique

a) La suite

(u_{n})

définie par :

u_{n} = 7 - 9 n

est-elle arithmétique ?

b) La suite

(v_{n})

définie par :

v_{n} = n^{2} + 3

est-elle arithmétique ?

---

Correction

a)

u_{n + 1} - u_{n} = 7 - 9 (n + 1) - (7 - 9 n)

= 7 - 9 n - 9 - 7 + 9 n = - 9.

La différence entre deux termes successifs reste constante et égale à

- 9

, donc on passe d'un terme au suivant en ajoutant

- 9

(u_{n})

est une suite arithmétique de raison

- 9

.

b)

v_{n + 1} - v_{n} = (n + 1)^{2} + 3 - (n^{2} + 3)

= n^{2} + 2 n + 1 + 3 - n^{2} - 3 = 2 n + 1.

La différence entre un terme et son précédent n'est pas constante car elle dépend de

n

(v_{n})

n'est pas une suite arithmétique.

Proposition—Expression générale d'une suite arithmétique

(u_{n})

est une suite arithmétique de raison

r

et de premier terme

u_{0}

.

Pour tout entier naturel

n

, on a :

u_{n} = u_{0} + n r

Encadré—Démonstration au programme

La suite arithmétique

(u_{n})

de raison

r

et de premier terme

u_{0}

vérifie la relation

u_{n + 1} = u_{n} + r

.

En calculant les premiers termes :

u_{1} u_{2} u_{3} u_{n} = u_{0} + r = u_{1} + r = u_{2} + r ⋮ = u_{n - 1} + r

En additionnant membre à membre ces

n

égalités, on obtient :

u_{1} + u_{2} + u_{3} + \dots + u_{n} = u_{0} + u_{1} + u_{2} + \dots + u_{n - 1} + n \times r

Soit, en retranchant aux deux membres les termes identiques :

u_{n} = u_{0} + n r

Méthode—Déterminer une expression en fonction de

n

d'une suite arithmétique

a) Déterminer l'expression, en fonction de

n

, de la suite arithmétique définie par :

{u_{0} = 7 u_{n + 1} = u_{n} - 4

b) Déterminer l'expression, en fonction de

n

, de la suite arithmétique définie par :

{u_{1} = 5 u_{n + 1} = u_{n} + 3

---

Correction

a) On a :

u_{0} = 7

u_{n + 1} = u_{n} - 4

On passe d'un terme au suivant en ajoutant

- 4

, et donc la raison

r

est égale à

- 4

et le premier terme

u_{0}

est égal à

7

.

Ainsi :

u_{n} = u_{0} + n r = 7 + n \times (- 4) = 7 - 4 n

b) On a :

u_{1} = 5

u_{n + 1} = u_{n} + 3

On passe d'un terme au suivant en ajoutant

3

, donc la raison

r

est égale à

3

.

Ici, le terme

u_{0}

n'est pas donné mais on peut le calculer.

Pour passer de

u_{1}

u_{0}

, on retire

3

(« marche arrière ») donc

u_{0} = u_{1} - 3 = 5 - 3 = 2

.

Ainsi :

u_{n} = u_{0} + n r = 2 + 3 n

Attention

Il peut être pratique d'appliquer directement la formule :

u_{n} = u_{1} + (n - 1) r

Méthode—Déterminer la raison et le premier terme d'une suite arithmétique

Considérons la suite arithmétique

(u_{n})

tel que

u_{5} = 7

u_{9} = 19

.

a) Déterminer la raison et le premier terme de la suite

(u_{n})

.

b) Exprimer

u_{n}

en fonction de

n

.

---

Correction

a) Les termes de la suite sont de la forme

u_{n} = u_{0} + n r

Ainsi :

{u_{5} = u_{0} + 5 r u_{9} = u_{0} + 9 r \Leftrightarrow {7 = u_{0} + 5 r 19 = u_{0} + 9 r

On soustrait membre à membre :

7 - 19 = u_{0} + 5 r - u_{0} - 9 r

- 12 = - 4 r

r = \frac{- 12}{- 4} = 3

Comme

u_{0} + 5 r = 7

, on a :

u_{0} + 5 \times 3 = 7

u_{0} = 7 - 15 = - 8

u_{n} = u_{0} + n r = - 8 + n \times 3 = 3 n - 8

1.2. Sens de variation

Proposition—Sens de variation d'une suite arithmétique

(u_{n})

est une suite arithmétique de raison

r

.

- Si

r > 0

alors la suite

(u_{n})

est croissante.
- Si

r < 0

alors la suite

(u_{n})

est décroissante.

1.3. Représentation graphique

Remarque

Les points de la représentation graphique d'une suite arithmétique sont alignés.

Exemple

On a représenté ci-dessous la suite arithmétique de raison

- 0, 5

et de premier terme

4

Encadré—RÉSUMÉ - Suites arithmétiques

(u_{n})

une suite arithmétique de raison

r

et de premier terme

u_{0}

.

Exemple :

r = - 0, 5

u_{0} = 4

Propriété	Formule	Exemple
Définition	$u_{n + 1} = u_{n} + r$	$u_{n + 1} = u_{n} - 0, 5$
	La différence entre un terme et son précédent est égale à $- 0, 5$ .
Propriété	$u_{n} = u_{0} + n r$	$u_{n} = 4 - 0, 5 n$
Sens de variation	Si $r > 0$ : $(u_{n})$ est croissante.	$r = - 0, 5 < 0$
	Si $r < 0$ : $(u_{n})$ est décroissante.	La suite $(u_{n})$ est décroissante.
Représentation graphique	Les points de la représentation graphique sont alignés.
	La croissance est linéaire.