Exercices de Convexité, Sup (prépa)

Données : $u(x)=x^2+x+1$, $f(x)=\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}$.

1. (a) Limites : $\underset{x\to +\infty }{\lim }u(x)=+\infty$, $\underset{x\to -\infty }{\lim }u(x)=+\infty$.

1. (b) Forme canonique : $u(x)={\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}\ge \frac{3}{4}$. ✓

1. (c) $\sqrt{u(x)}>|x+\frac{1}{2}|$ :

$u(x)={\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>{\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2$, donc en prenant la racine (positive) : $\sqrt{u(x)}>\left|x+\frac{1}{2}\right|$. ✓

2. (a) $u(x)\ge \frac{3}{4}>0$ pour tout $x\in \mathbb{R}$, donc $f$ est bien définie sur $\mathbb{R}$.

2. (b) $|f(x)|<1$ :

$f(x)=\frac{2x+1}{2\sqrt{u(x)}}$. $|f(x)|=\frac{|2x+1|}{2\sqrt{u(x)}}=\frac{|x+\frac{1}{2}|}{\sqrt{u(x)}}<1$ car $\sqrt{u(x)}>|x+\frac{1}{2}|$. ✓

3. (a) Calcul de $|f(x)-1|$ :

$f(x)-1=\frac{2x+1-2\sqrt{u(x)}}{2\sqrt{u(x)}}=\frac{(2x+1{)}^2-4u(x)}{2\sqrt{u(x)}(2x+1+2\sqrt{u(x)})}$ (en multipliant par le conjugué).

$(2x+1{)}^2-4u(x)=4x^2+4x+1-4x^2-4x-4=-3$.

Donc $|f(x)-1|=\frac{3}{2\sqrt{u(x)}(2x+1+2\sqrt{u(x)})}$, le dénominateur étant positif car $2\sqrt{u}>|2x+1|$. ✓

3. (b) Pour $x>0$ : $\sqrt{u(x)}>x$ et $2x+1+2\sqrt{u(x)}>2x$, donc :$$|f(x)-1|\le \frac{3}{2x\cdot 2x}=\frac{3}{4x^2}\le \frac{3}{x}(x\ge 1).$$Pour $0<x<1$, $|f(x)|<1$ donne $|f(x)-1|\le 2\le \frac{3}{x}$ dès que $x\le \frac{3}{2}$. ✓

3. (c) $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=1$ : Car $|f(x)-1|\le \frac{3}{x}\to 0$.

Solution :

1. Calcul de la dérivée :

La fonction $f$ est définie par $f(x)=\sqrt{1+x}(1+\frac{1}{\sqrt{x}})=\sqrt{1+x}+\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{x}}=\sqrt{1+x}+\sqrt{\frac{1+x}{x}}$ pour $x>0$. On utilise la formule $(\sqrt{u}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$.

On a donc :
$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{1+x}}+\frac{1}{2\sqrt{\frac{1+x}{x}}}\times \frac{x\times \frac{1}{2\sqrt{1+x}}-(1+x)\frac{1}{2\sqrt{x}}}{x}=\frac{1}{2\sqrt{1+x}}+\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{1+x}}\times \frac{\frac{x}{\sqrt{x}\sqrt{1+x}}-\frac{(1+x)\sqrt{1+x}}{\sqrt{x}}}{2x(1+x)}=\frac{1}{2\sqrt{1+x}}+\frac{x-(1+x)\sqrt{1+x}}{4x\sqrt{x}\sqrt{1+x}}$.

Après simplification, on obtient :
$f^{\prime }(x)=\frac{2x+x-(1+x)\sqrt{1+x}}{4x\sqrt{x}\sqrt{1+x}}=\frac{3x-\sqrt{1+x}(1+x)}{4x\sqrt{x}\sqrt{1+x}}=\frac{x\sqrt{x}-1}{2x\sqrt{x}\sqrt{1+x}}$.

2. (a) Factorisation :

On a l'identité remarquable $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$. Donc $a=1$, $b=1$ et $c=1$.

2. (b) Variations de $f$ :

Le signe de $f^{\prime }(x)$ est celui de $x\sqrt{x}-1=x^{\frac{3}{2}}-1$. Soit $g(x)=x^{\frac{3}{2}}-1$. $g$ est strictement croissante sur $]0,+\infty [$. $g(1)=0$. Donc $g(x)<0$ pour $x<1$ et $g(x)>0$ pour $x>1$. Ainsi, $f$ est décroissante sur $]0,1[$ et croissante sur $]1,+\infty [$.

2. (c) Minimum de $f$ :

Le minimum de $f$ est atteint en $x=1$ et vaut $f(1)=\sqrt{1+1}(1+\frac{1}{\sqrt{1}})=\sqrt{2}(1+1)=2\sqrt{2}$.

3. Inégalité :

Soit $x=\frac{a}{b}$. Alors $f(x)=\sqrt{1+\frac{a}{b}}(1+\frac{1}{\sqrt{\frac{a}{b}}})=\sqrt{\frac{a+b}{b}}\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{b}}\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{ab}}(\sqrt{a}+\sqrt{b})=\sqrt{a+b}(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}})$.

Comme le minimum de $f$ est $2\sqrt{2}$, on a $\sqrt{a+b}(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}})\ge 2\sqrt{2}$. L'égalité a lieu si et seulement si $x=1$, c'est-à-dire si et seulement si $\frac{a}{b}=1$, soit $a=b$.