Exercices de Dénombrement en maths Sup (prépa) (page 2)

44. $Probabilité de déterminant impair$

On dispose de 9 jetons numérotés de 1 à 9. On considère une matrice carrée de taille 3 composée de ces 9 jetons. On cherche à déterminer la probabilité

p

pour que le déterminant de la matrice soit impair.

Q1-Soit

A = (a_{i, j})_{1 \leq i, j \leq n} \in M_{n} (Z)

n \geq 2

. Montrer que le déterminant de

A

est congru modulo

2

au déterminant de la matrice dont les coefficients sont les restes

r_{i, j}

de la division euclidienne des

a_{i, j}

par

2

Q2-On note

M

l'ensemble des matrices carrées d'ordre 3 composées des 9 jetons. Déterminer

card (M)

Q3-On définit

Ω = {M \in M ∣ det (M) impair}

Δ

l'ensemble des matrices carrées d'ordre 3 dont cinq coefficients sont égaux à 1, quatre coefficients sont nuls et de déterminant impair. Donner une relation entre

card (Ω)

card (Δ)

Q4-Détermination de

card (Δ)

[(a)] On considère une matrice de $Δ$ dont une colonne possède trois coefficients égaux à 1. Déterminer le nombre $K_{1}$ de ces matrices.
[(b)] On considère une matrice de $Δ$ dont 2 colonnes possèdent exactement un coefficient nul. Déterminer le nombre $K_{2}$ de ces matrices.
[(c)] Calculer $card (Δ)$ .
[(d)] En déduire $card (Ω)$ .

Q5-Déterminer la probabilité

p

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Exercices de Dénombrement, Sup (prépa) (page 2)

41. $Anagrammes de mots donnés$

42. $Apprendre à compter$

43. $Inégalité n^{2} \leq k p via R$

44. $Probabilité de déterminant impair$

45. $CCP PSI 2015$

46. $D'après HEC éco 1993$

47. $Nombre de k -cycles$

41.Anagrammes de mots donnés

42.Apprendre à compter

43.Inégalité n2≤kp via R

44.Probabilité de déterminant impair

45.CCP PSI 2015

46.D'après HEC éco 1993

47.Nombre de k-cycles

41. $Anagrammes de mots donnés$

42. $Apprendre à compter$

43. $Inégalité n^{2} \leq k p via R$

44. $Probabilité de déterminant impair$

45. $CCP PSI 2015$

46. $D'après HEC éco 1993$

47. $Nombre de k -cycles$