Exercices de Ensembles, Sup (prépa)

1. Définition d'une partition :

$(A_i{)}_{i\in I}$ est une partition de $E$ si :
- (i) $\forall i\in I,A_i\ne \varnothing$
- (ii) $\bigcup _{i\in I}{A}_i=E$
- (iii) Les $A_i$ sont deux à deux disjoints : $\forall i\ne j,A_i\cap A_j=\varnothing$

2. $\{2\mathbb{Z},2\mathbb{Z}+1\}$ est une partition de $\mathbb{Z}$ :

- Non-vacuité : $0\in 2\mathbb{Z}$ et $1\in 2\mathbb{Z}+1$.
- Recouvrement : Tout entier $n$ est soit pair ($n\in 2\mathbb{Z}$) soit impair ($n\in 2\mathbb{Z}+1$).
- Disjonction : Supposons $n\in 2\mathbb{Z}\cap (2\mathbb{Z}+1)$. Alors $n=2k$ et $n=2l+1$, soit $2k=2l+1$, ce qui est impossible car le membre gauche est pair et le droit impair. Donc $2\mathbb{Z}\cap (2\mathbb{Z}+1)=\varnothing$.

3. Partition de $\mathbb{Z}$ par les classes de congruences modulo $n$ :

Posons $A_r=r+n\mathbb{Z}=\{r+nk\mid k\in \mathbb{Z}\}$ pour $r\in \{0,\dots ,n-1\}$.

- Non-vacuité : $r\in A_r$.
- Recouvrement : Tout $m\in \mathbb{Z}$ s'écrit $m=nq+r$ avec $r=m\mathrm{mod}n\in \{0,\dots ,n-1\}$ (division euclidienne), donc $m\in A_r$.
- Disjonction : Si $m\in A_r\cap A_s$ avec $r\ne s$, $r,s\in \{0,\dots ,n-1\}$, alors $m\equiv r(\mathrm{mod}n)$ et $m\equiv s(\mathrm{mod}n)$, donc $r\equiv s(\mathrm{mod}n)$. Mais $|r-s|<n$, donc $r=s$ : contradiction.