Exercices de Familles sommables en maths Sup (prépa)

1. $Famille 1/ x^{2} sur les rationnels$

2. $Moyennes de Cesàro dans l2$

Soit

(u_{n})_{n \in N^{*}}

une suite réelle. On pose

\forall n \in N^{*}, v_{n} = \frac{1}{n} k = 1 \sum n u_{k}

Q1-Montrer que

(n + 1) v_{n}^{2} - (n - 1) v_{n - 1}^{2} \leq 2 u_{n} v_{n}

pour tout entier

n \geq 2

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1. On a

v_{n} = \frac{1}{n} k = 1 \sum n u_{k}

donc

n v_{n} = k = 1 \sum n u_{k}

(n - 1) v_{n - 1} = k = 1 \sum n - 1 u_{k}

. Ainsi

n v_{n} - (n - 1) v_{n - 1} = u_{n}

.

Calculons

(n + 1) v_{n}^{2} - (n - 1) v_{n - 1}^{2} - 2 u_{n} v_{n}

= (n + 1) v_{n}^{2} - (n - 1) v_{n - 1}^{2} - 2 v_{n} (n v_{n} - (n - 1) v_{n - 1}) = (n + 1) v_{n}^{2} - (n - 1) v_{n - 1}^{2} - 2 n v_{n}^{2} + 2 (n - 1) v_{n - 1} v_{n} = v_{n}^{2} (n + 1 - 2 n) + v_{n - 1} (- (n - 1) v_{n - 1} + 2 (n - 1) v_{n}) = - (n - 1) v_{n}^{2} + (n - 1) v_{n - 1} (2 v_{n} - v_{n - 1}) = - (n - 1) (v_{n}^{2} - 2 v_{n} v_{n - 1} + v_{n - 1}^{2}) = - (n - 1) (v_{n} - v_{n - 1})^{2} \leq 0.

Donc

(n + 1) v_{n}^{2} - (n - 1) v_{n - 1}^{2} \leq 2 u_{n} v_{n}

.

2a. En sommant de

n = 2

N

(N + 1) v_{N}^{2} - v_{1}^{2} \leq 2 n = 2 \sum N u_{n} v_{n} \leq 2 (\sum u_{n}^{2})^{1/2} (\sum v_{n}^{2})^{1/2}

par Cauchy-Schwarz. Posons

S_{N} = n = 1 \sum N v_{n}^{2}

. L'inégalité donne

S_{N} \leq v_{1}^{2} + 2 \sum u_{n}^{2} S_{N}

. C'est une inégalité du type

S \leq a + b S

, d'où

S \leq b + b^{2} + a \leq 2 b + a

(si

a, b \geq 0

). Ainsi

S_{N}

est bornée, et

\sum v_{n}^{2}

converge. L'inégalité

\sum v_{n}^{2} \leq 4 \sum u_{n}^{2}

se déduit par résolution.

2b. On en déduit que si

\sum u_{n}^{2} < + \infty

alors

\sum v_{n}^{2} < + \infty

, avec

∥ v ∥_{ℓ^{2}} \leq 2∥ u ∥_{ℓ^{2}}

3. $Banque Mines-Ponts MP 2018$

On étudie une inégalité de type Hilbert sur les familles sommables à termes réels, en s'appuyant sur une représentation intégrale et l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

Q1-Pour

n \in Z

, calculer

\int_{0}^{2 π} t e^{- in t} d t

Q2-Soient

I

une partie finie de

N^{*}

(a_{n})_{n \in I}

(b_{n})_{n \in I}

deux suites finies de réels positifs. Montrer que

(n, m) \in I^{2} \sum \frac{a _{n} b _{m}}{n + m} \leq π n \in I \sum a_{n}^{2} n \in I \sum b_{n}^{2}

Q3-Soient

(a_{n})_{n \in N^{*}}

(b_{n})_{n \in N^{*}}

deux suites réelles telles que les familles

(a_{n}^{2})_{n \in N^{*}}

(b_{n}^{2})_{n \in N^{*}}

soient sommables. Montrer que

(\frac{a _{n} b _{m}}{n + m})_{(n, m) \in (N^{*})^{2}}

est sommable et que

(n, m) \in (N^{*})^{2} \sum \frac{a _{n} b _{m}}{n + m} \leq π n \in N^{*} \sum a_{n}^{2} n \in N^{*} \sum b_{n}^{2}

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4. $Famille 1/ (mn (m + n + 2)) : somme$

Montrer que la famille

(\frac{1}{mn ( m + n + 2 )})_{(m, n) \in (N^{*})^{2}}

est sommable et calculer sa somme.

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5. $Famille télescopique, somme π^{2} /6$

Montrer que la famille

(\frac{1}{( p + q ^{2} ) ( p + q ^{2} + 1 )})_{(p, q) \in N \times N^{*}}

est sommable et calculer sa somme.

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6. $Permutation et série de Riemann$

Soit

α \in R

. Montrer que

n = 0 \sum + \infty k = n + 1 \sum + \infty \frac{1}{k ^{α}} = p = 1 \sum + \infty \frac{1}{p ^{α - 1}}

Pour quelles valeurs de

α

cette somme est-elle finie ?

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7. $Famille 1/ (p^{2} + q^{2}) non sommable$

Montrer que la famille

(\frac{1}{p ^{2} + q ^{2}})_{(p, q) \in (N^{*})^{2}}

n'est pas sommable.

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8. $Famille 1/ (p^{2} + q^{3}) sommable$

Montrer que la famille

(\frac{1}{p ^{2} + q ^{3}})_{(p, q) \in (N^{*})^{2}}

est sommable.

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9. $Famille 1/ ((m + n) (m + n + 1)) : nature$

La famille

(\frac{1}{( m + n ) ( m + n + 1 )})_{(m, n) \in N^{*} \times N}

est-elle sommable ?

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10. $Série génératrice de τ (n)$

On note

τ (n)

le nombre de diviseurs positifs d'un entier

n \in N^{*}

. Montrer que pour tout

z \in C

tel que

∣ z ∣ < 1

n = 1 \sum + \infty \frac{z ^{n}}{1 - z ^{n}} = n = 1 \sum + \infty τ (n) z^{n}

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11. $Série télescopique à exposants 2^{n}$

Soit

z \in C

tel que

∣ z ∣ < 1

. Montrer la convergence et déterminer la somme de la série

n \in N \sum \frac{z ^{2^{n}}}{1 - z ^{2^{n + 1}}} .

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12. $Famille 1/ (m + n)^{α} : CNS α > 2$

Montrer que la famille

(\frac{1}{( m + n ) ^{α}})_{(m, n) \in (N^{*})^{2}}

est sommable si et seulement si

α > 2

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13. $Double somme sur 1/ k!, valeur e$

Calculer

S = n = 0 \sum + \infty k = n + 1 \sum + \infty \frac{1}{k !}

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14. $TPE-EIVP MP 2015$

On étudie la sommabilité de familles à double indice en comparant les comportements de

1/ (p + q)^{2}

et de

1/ (p^{2} + q^{2})

sur

(N^{*})^{2}

Q1-Montrer que la famille

(\frac{1}{( p + q ) ^{2}})_{(p, q) \in (N^{*})^{2}}

n'est pas sommable.

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1.Famille 1/x2 sur les rationnels

2.Moyennes de Cesàro dans l2

3.Banque Mines-Ponts MP 2018

4.Famille 1/(mn(m+n+2)) : somme

5.Famille télescopique, somme π2/6

6.Permutation et série de Riemann

7.Famille 1/(p2+q2) non sommable

8.Famille 1/(p2+q3) sommable

9.Famille 1/((m+n)(m+n+1)) : nature

10.Série génératrice de τ(n)

11.Série télescopique à exposants 2n

12.Famille 1/(m+n)α : CNS α>2

13.Double somme sur 1/k!, valeur e

14.TPE-EIVP MP 2015

1. $Famille 1/ x^{2} sur les rationnels$

2. $Moyennes de Cesàro dans l2$

3. $Banque Mines-Ponts MP 2018$

4. $Famille 1/ (mn (m + n + 2)) : somme$

5. $Famille télescopique, somme π^{2} /6$

6. $Permutation et série de Riemann$

7. $Famille 1/ (p^{2} + q^{2}) non sommable$

8. $Famille 1/ (p^{2} + q^{3}) sommable$

9. $Famille 1/ ((m + n) (m + n + 1)) : nature$

10. $Série génératrice de τ (n)$

11. $Série télescopique à exposants 2^{n}$

12. $Famille 1/ (m + n)^{α} : CNS α > 2$

13. $Double somme sur 1/ k!, valeur e$

14. $TPE-EIVP MP 2015$