Exercices de Fonctions de deux variables, Sup (prépa)

Soit $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ et $g(t)=f(e^t\cos t,\ln (1+t^2))$.

$g$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ : On pose ${\varphi }_1(t)=e^t\cos t$ et ${\varphi }_2(t)=\ln (1+t^2)$. Les fonctions ${\varphi }_1$ et ${\varphi }_2$ sont de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathbb{R}$. L'application $\varphi :t\mapsto ({\varphi }_1(t),{\varphi }_2(t))$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$. Comme $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$, $g=f\circ \varphi$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ (composition).

Calcul de $g^{\prime }(t)$ : Par la règle de dérivation en chaîne,$$g^{\prime }(t)=\frac{\partial f}{\partial x}({\varphi }_1(t),{\varphi }_2(t))\cdot {\varphi }_1^{\prime }(t)+\frac{\partial f}{\partial y}({\varphi }_1(t),{\varphi }_2(t))\cdot {\varphi }_2^{\prime }(t).$$${\varphi }_1^{\prime }(t)=e^t\cos t-e^t\sin t=e^t(\cos t-\sin t)$.
${\varphi }_2^{\prime }(t)=\frac{2t}{1+t^2}$.

Donc :$$g^{\prime }(t)=\frac{\partial f}{\partial x}(e^t\cos t,\ln (1+t^2))\cdot e^t(\cos t-\sin t)+\frac{\partial f}{\partial y}(e^t\cos t,\ln (1+t^2))\cdot \frac{2t}{1+t^2}.$$

Soit $f(x,y)=\frac{\sin x-\sin y}{x-y}$ sur ${\mathbb{R}}^2\setminus \Delta$.

1. Sur ${\mathbb{R}}^2\setminus \Delta$, $x\ne y$, donc $f$ est un quotient de fonctions ${\mathcal{C}}^{\infty }$, avec dénominateur non nul. Donc $f$ est ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur ${\mathbb{R}}^2\setminus \Delta$.

2. On écrit $f(x,y)={\int }_0^1\cos (y+t(x-y))dt$ (formule des accroissements finis intégrale). Cette représentation est valable pour $x\ne y$, et la formule s'étend par continuité en $x=y$ : la limite vaut $\cos (y)=\tilde{f}(x,x)$. Donc on pose $\tilde{f}(x,y)={\int }_0^1\cos (y+t(x-y))dt$, qui est continue sur ${\mathbb{R}}^2$.

3. On a $\tilde{f}(x,y)={\int }_0^1\cos (y+t(x-y))dt$.

$\frac{\partial \tilde{f}}{\partial x}(x,y)={\int }_0^1(-\sin (y+t(x-y)))\cdot tdt$.

Cette intégrale est bien définie pour tout $(x,y)$, donc $\tilde{f}$ admet des dérivées partielles sur ${\mathbb{R}}^2$.

4. Les fonctions $(x,y,t)\mapsto -t\sin (y+t(x-y))$ et $t\mapsto -\sin (y+t(x-y))$ sont continues, donc les dérivées partielles sont continues (différentiation sous le signe intégrale). Donc $\tilde{f}$ est ${\mathcal{C}}^1$.

5. De même, toutes les dérivées partielles d'ordre $k$ s'obtiennent par dérivation sous le signe intégrale, et sont continues. Donc $\tilde{f}$ est ${\mathcal{C}}^{\infty }$.

6. On a $\tilde{f}(x,y)={\int }_0^1\cos (y+t(x-y))dt$. Comme $|\cos |\le 1$, on a $|\tilde{f}(x,y)|\le 1$. Donc $\tilde{f}$ est bornée. Par contre, $\tilde{f}$ n'est pas à support compact, donc on ne peut pas directement invoquer le théorème des extrema.

Cependant, $|\tilde{f}(x,y)|\le 1$, donc $\tilde{f}$ est bornée et son supremum et infimum sont atteints (la fonction prend les valeurs $\pm 1$ : $\tilde{f}(x,x)=\cos (x)$ atteint $1$ en $x=0$ et $-1$ en $x=\pi$). Donc le maximum de $\tilde{f}$ sur ${\mathbb{R}}^2$ est $1$ (atteint en $(x,y)$ tels que $\cos (y+t(x-y))=1$ pour tout $t\in [0,1]$, i.e. $y=x=2k\pi$), et le minimum est $-1$ (atteint en $x=y=(2k+1)\pi$).