Exercices de Fonctions d'une variable réelle en maths Sup (prépa)

1. $Divergence de Kullback-Leibler$

Soit

p \in] 0, 1 [

. On note

f

la fonction

x \mapsto x ln \frac{x}{p} + (1 - x) ln \frac{1 - x}{1 - p}

2. $Transformations de x^{3} - 3 x$

On étudie la représentation graphique d'une fonction polynomiale et les effets des transformations géométriques élémentaires (translations, dilatations, compressions) sur sa courbe représentative.

Q1-Tracer la courbe représentative de la fonction

f : x \in R \mapsto x^{3} - 3 x

Q2-Sans calculs, tracer les courbes représentatives des fonctions suivantes :

g : x \in R \mapsto f (x + 2) - 1

h : x \in R \mapsto 2 f (\frac{x}{2})

i : x \in R \mapsto \frac{1}{2} f (2 x - 2) + 1

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3. $Tangente parallèle à y = x$

On considère la fonction réelle définie par

f (x) = \frac{ln x}{x ^{2}}

C

sa courbe représentative.
Montrer que le point

(1, 0)

est le seul point de la courbe où la tangente est parallèle à la droite d'équation

y = x

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4. $Unicité de x ln x = 1$

Montrer que l'équation

x ln x = 1

admet une unique solutions sur

R_{+}^{*}

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5. $Bijection de 2 x e^{x} sur [0, 1]$

Montrer que la fonction définie par

f : R ⟶ R, x ⟼ f (x) = 2 x e^{x}

induit une bijection de

[0, 1]

sur un ensemble à déterminer.

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6. $Bijection de x / (x^{2} + 1)$

Soit

f

la fonction définie sur

R

par

f (x) = \frac{x}{x ^{2} + 1}

Q1-

f

est-elle injective ? surjective ?

Q2-Montrer que

f

induit une bijection de

[1, + \infty [

sur un intervalle de

R

à préciser.

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7. $Une étude de fonction$

Soit

f : x \mapsto ∣ x^{2} - 1∣

. Étudier la fonction

f

, puis représenter

f

graphiquement. On précisera les tangentes remarquables ainsi que les asymptotes.

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8. $Etude de quatre fonctions$

Étudier les fonctions suivantes. On précisera également leurs images.

Q1-

f : x \mapsto x^{x}

Q2-

f : x \mapsto \frac{ln x}{x}

Q3-

f : x \mapsto 1 + x^{2}

Q4-

f : x \mapsto sin x - \frac{1}{3} sin 3 x

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9. $Asymptotes de x^{2} + x + 1$

Soient

f : x \in R \mapsto x^{2} + x + 1

C_{f}

sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

Q1-Donner l'ensemble de définition de

f

Q2-Calculer

f (- 1 - x)

pour tout

x \in R

. En déduire sans justification une symétrie de

C_{f}

Q3-Justifier que

f

est dérivable sur

R

. Calculer sa dérivée. En déduire les variations de

f

que l'on présentera dans un tableau de variations.
On précisera les limites de

f

aux bornes de son ensemble de définition

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10. $Solutions de x^{n} ln x = - 1/ n^{2}$

Soit

n \in N^{*}

. Déterminer en fonction de

n

le nombre de solutions de l'équation

x^{n} ln x = \frac{- 1}{n ^{2}}

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11. $Solutions de e^{x} = 1 + k x$

Soit

k \in R_{+}^{*}

. Déterminer le nombre de solutions réelles de l'équations

e^{x} = 1 + k x

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12. $Etude de (x + 1)^{2} / (2 x - 1)$

On considère la fonction réelle

f : x ⟼ \frac{( x + 1 ) ^{2}}{2 x - 1}

Q1-Étudiez

f

, déterminez ses éventuelles asymptotes, puis tracez la courbe

C_{f}

Q2-Prouvez que

C_{f}

possède un centre de symétrie.

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Q1.

f (x) = \frac{( x + 1 ) ^{2}}{2 x - 1}

, definie sur

R ∖ {1/2}

.

Asymptote verticale :

x = 1/2

.

Asymptote oblique : par division euclidienne,

(x + 1)^{2} = (2 x - 1) (\frac{x}{2} + \frac{5}{4}) + \frac{9}{4}

, donc

f (x) = \frac{x}{2} + \frac{5}{4} + \frac{9/4}{2 x - 1}

. L'asymptote oblique est

y = \frac{x}{2} + \frac{5}{4}

.

Derivee :

f^{'} (x) = \frac{2 ( x + 1 ) ( 2 x - 1 ) - 2 ( x + 1 ) ^{2}}{( 2 x - 1 ) ^{2}} = \frac{2 ( x + 1 ) ( x - 2 )}{( 2 x - 1 ) ^{2}}

f^{'} = 0

x = - 1

x = 2

. Tableau de variations :

f

est croissante sur

(- \infty, - 1]

, decroissante sur

[- 1, 1/2 [

, decroissante sur

] 1/2, 2]

, croissante sur

[2, + \infty)

. Valeurs :

f (- 1) = 0

(minimum local),

f (2) = 3

(minimum local).

Q2. Centre de symetrie : il existe

(x_{0}, y_{0})

centre de symetrie de

C_{f}

ssi

f (x_{0} + t) + f (x_{0} - t) = 2 y_{0}

pour tout

t \neq = x_{0} - 1/2

. Le centre se trouve a l'intersection de l'asymptote verticale et de l'asymptote oblique :

x_{0} = 1/2

y_{0} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{5}{4} = \frac{1}{8} + \frac{5}{4}

. Calculons :

y_{0} = \frac{x _{0}}{2} + \frac{5}{4} = \frac{1}{4} + \frac{5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}

. Verification :

f (1/2 + t) + f (1/2 - t) = \frac{( 3/2 + t ) ^{2}}{2 t} + \frac{( 3/2 - t ) ^{2}}{- 2 t} = \frac{( 3/2 + t ) ^{2} - ( 3/2 - t ) ^{2}}{2 t} = \frac{6 t}{2 t} = 3 = 2 \cdot \frac{3}{2}

. Donc

(1/2, 3/2)

est centre de symetrie.

13. $Fonctions bornées, majorées$

Les fonctions suivantes sont-elles majorées, minorées, bornées ? Justifier.

Q1-

f : x \in R \mapsto e^{x} sin x

Q2-

g : x \in R \mapsto \frac{2 sin x + 3 cos x}{1 + e ^{x}}

Q3-

h : x \in R \mapsto (1 + sin x) ln (1 + x^{2})

Q4-

i : x \in R \mapsto e^{- x^{2}} sin x

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14. $Extrema de quatre fonctions$

Les fonctions suivantes admettent-elles un minimum ou un maximum ?

Q1-

f : x \in R \mapsto e^{- x^{2}}

Q2-

g : x \in R_{+}^{*} \mapsto \frac{ln x}{x}

Q3-

h : x \in R_{+} \mapsto e^{- x} x .

Q4-

i : x \in R_{+}^{*} \mapsto x + \frac{a}{x}

où

a \in R_{+}^{*}

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1.Divergence de Kullback-Leibler

2.Transformations de x3−3x

3.Tangente parallèle à y=x

4.Unicité de xlnx=1

5.Bijection de 2xex sur [0,1]

6.Bijection de x/(x2+1)

7.Une étude de fonction

8.Etude de quatre fonctions

9.Asymptotes de x2+x+1​

10.Solutions de xnlnx=−1/n2

11.Solutions de ex=1+kx

12.Etude de (x+1)2/(2x−1)

13.Fonctions bornées, majorées

14.Extrema de quatre fonctions

1. $Divergence de Kullback-Leibler$

2. $Transformations de x^{3} - 3 x$

3. $Tangente parallèle à y = x$

4. $Unicité de x ln x = 1$

5. $Bijection de 2 x e^{x} sur [0, 1]$

6. $Bijection de x / (x^{2} + 1)$

7. $Une étude de fonction$

8. $Etude de quatre fonctions$

9. $Asymptotes de x^{2} + x + 1$

10. $Solutions de x^{n} ln x = - 1/ n^{2}$

11. $Solutions de e^{x} = 1 + k x$

12. $Etude de (x + 1)^{2} / (2 x - 1)$

13. $Fonctions bornées, majorées$

14. $Extrema de quatre fonctions$