Exercices de Fractions rationnelles, Sup (prépa)

$(a)$ $F=\frac{1}{X}-\frac{1}{X+1}$.

$(b)$ Par télescopage $\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}=\sum _{k=1}^n\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$.

$(c)$ On a $\frac{1}{X(X+1)(X+2)}=\frac{1/2}{X}-\frac{1}{X+1}+\frac{1/2}{X+2}$ donc $\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{4}-\frac{1}{2(n+1)}+\frac{1}{2(n+2)}$.

1. Existence et unicité de $T_n\in \mathbb{R}[X]$ tel que $T_n(\cos \theta )=\cos (n\theta )$

*Existence par récurrence.* La formule $\cos ((n+1)\theta )=2\cos \theta \cos (n\theta )-\cos ((n-1)\theta )$ donne $T_{n+1}(X)=2X{T}_n(X)-T_{n-1}(X)$. Initialisation : $T_0=1$, $T_1=X$. Ces polynômes de Chebyshev vérifient la propriété par récurrence.

*Unicité.* Si $T$ et $T^{\prime }$ conviennent, $(T-T^{\prime })(\cos \theta )=0$ pour tout $\theta$, donc $T-T^{\prime }$ a une infinité de zéros, d'où $T-T^{\prime }=0$.

*Degré.* Par récurrence : $\mathrm{deg}{T}_n=n$ avec coefficient dominant $2^{n-1}$ pour $n\ge 1$.

2. Racines de $T_n$ ($n\ge 1$)

$T_n(x)=0\iff \exists \theta \in [0,\pi ],x=\cos \theta$ et $\cos (n\theta )=0\iff n\theta =\frac{\pi }{2}+k\pi$, soit ${\theta }_k=\frac{(2k+1)\pi }{2n}$ pour $k=0,\dots ,n-1$ (valeurs dans $(0,\pi )$).

Les $n$ racines simples sont $x_k=\cos \left(\frac{(2k+1)\pi }{2n}\right)$ pour $k=0,1,\dots ,n-1$.

3. Décomposition en éléments simples de $\frac{1}{T_n}$

Pôles simples $x_k$. Résidu : $\frac{1}{T_n^{\prime }(x_k)}$. On différentie $T_n(\cos \theta )=\cos (n\theta )$ par rapport à $\theta$ :$$-T_n^{\prime }(\cos \theta )\sin \theta =-n\sin (n\theta )$$En $\theta ={\theta }_k$ : $\sin (n{\theta }_k)=\sin \left(\frac{(2k+1)\pi }{2}\right)=(-1{)}^k$, et $\sin {\theta }_k>0$. Donc $T_n^{\prime }(x_k)=\frac{n(-1{)}^k}{\sin {\theta }_k}$.$$\frac{1}{T_n}=\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}\frac{(-1{)}^k\sin {\theta }_k}{X-x_k},{\theta }_k=\frac{(2k+1)\pi }{2n}$$