Exercices de Géométrie affine en maths Sup (prépa) | The Maths Tailor
Exercices de Géométrie affine, Sup (prépa)
10 exercices de Géométrie affine pour les maths Sup (prépa), avec tous les énoncés en accès libre. 2 corrigés sont offerts ; les autres corrigés sont réservés aux abonnés. Au programme du chapitre : Préliminaires, Sous-espaces affines, Lien avec les applications linéaires, Repères affines.
Dans R3, on considère la droite affine D passant par A=(1,0,−1) de direction u=(1,2,1).
1. Écrire une représentation paramétrique de D. 2. Montrer que B=(3,4,1) appartient à D. 3. Le point C=(2,1,0) appartient-il à D ?
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1. Représentation paramétrique de D :D:xyz=10−1+t121=1+t2t−1+t,t∈R2. B=(3,4,1)∈D :
AB=B−A=(2,4,2)=2(1,2,1)=2u.
Donc B=A+2u∈D (correspondant à t=2). ✓
3. C=(2,1,0)∈D ?
AC=C−A=(1,1,1). Pour que C∈D, il faut AC=tu pour un certain t.
tu=(t,2t,t). Comparaison : t=1 (de la 1re et 3e coordonnée) mais 2t=2=1. Contradiction.
Donc AC n'est pas colinéaire à u, et C∈/D.
2.Intersection de deux plans
Dans R3, on considère les deux plans affines :P1:x+y−z=1P2:2x−y+z=31. Déterminer les directions (sous-espaces vectoriels associés) de P1 et P2. 2. Montrer que P1∩P2 est non vide en trouvant un point commun. 3. Donner une représentation paramétrique de P1∩P2 (c'est une droite affine).
Soient F et G deux sous-espaces affines de E de directions respectives F et G.
1. Énoncer la condition nécessaire et suffisante pour que F∩G=∅ (utiliser F+G). 2. Montrer que si E=F⊕G, alors F∩G est un singleton. 3. Application : dans R2, deux droites affines non parallèles se coupent en exactement un point.
Dans R2, on donne le repère affine (O,(e1,e2)) avec O=(0,0), e1=(1,0), e2=(0,1).
1. Rappeler la définition d'un repère affine. 2. On considère le repère affine (A,(u,v)) avec A=(1,1), u=(1,1) et v=(−1,1). Calculer les coordonnées de M=(3,2) dans ce nouveau repère. 3. Montrer que (A,(u,v)) est bien un repère affine de R2.
Soient E un K-espace vectoriel et f∈L(E,F) une application linéaire non nulle.
1. Montrer que pour tout b∈Im(f), l'ensemble Sb={x∈E:f(x)=b} est un sous-espace affine de direction kerf. 2. En déduire que si f:R3→R est linéaire non nulle, les ensembles de niveau f−1(c) pour c∈R sont des plans affines parallèles (ou vides). 3. Application : l'ensemble des solutions de 2x−3y+z=5 dans R3 est un plan affine. Déterminer un point et deux vecteurs directeurs.
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1. Sb est un sous-espace affine :
Soit b∈Im(f). Soit x0∈E tel que f(x0)=b (existe par hypothèse).
Montrons que Sb=x0+kerf.
- (⊂) Soit x∈Sb : f(x)=b=f(x0), donc f(x−x0)=0, i.e. x−x0∈kerf, donc x∈x0+kerf. - (⊃) Soit x=x0+h avec h∈kerf : f(x)=f(x0)+f(h)=b+0=b.
Donc Sb=x0+kerf est bien un sous-espace affine de direction kerf.
2. Plans affines parallèles :
Si f:R3→R est linéaire non nulle, alors dimkerf=3−1=2 (car dimIm(f)=1). Donc kerf est un plan vectoriel de R3.
Pour c∈Im(f)=R (car f est surjective), f−1(c) est un plan affine de direction kerf. Tous ces plans ont la même direction kerf : ils sont parallèles.
Si c∈/Im(f), f−1(c)=∅ (mais ici f surjective, donc c∈R convient toujours).
3. Solutions de 2x−3y+z=5 :
L'application f(x,y,z)=2x−3y+z est linéaire non nulle.
Point particulier : x0=(5/2,0,0) convient : 2(5/2)=5 ✓.
Direction kerf={2x−3y+z=0} : deux vecteurs directeurs obtenus en fixant 2 variables libres. - y=1,z=0 : x=3/2, vecteur u=(3/2,1,0) (ou (3,2,0) après multiplication par 2). - y=0,z=1 : 2x+1=0, x=−1/2, vecteur v=(−1/2,0,1) (ou (−1,0,2)).
Le plan affine est : (25,0,0)+Vect((3,2,0),(−1,0,2)).
7.Suite un+2−un=n−1
Le but est de déterminer l'ensemble A de toutes les suites réelles (un) vérifiant :∀n∈N,un+2−un=n−1
Q1-Trouver une suite réelle vérifiant cette relation de récurrence.
Q2-Montrer que A est un sous-espace affine de RN. On précisera la direction de A et on en donnera une base.
