Exercices de Groupes, anneaux, corps en maths Sup (prépa) | The Maths Tailor
Exercices de Groupes, anneaux, corps, Sup (prépa)
31 exercices de Groupes, anneaux, corps pour les maths Sup (prépa), avec tous les énoncés en accès libre. 2 corrigés sont offerts ; les autres corrigés sont réservés aux abonnés. Au programme du chapitre : Notion de loi, Groupes, Anneaux, Corps.
Soient A(1,0) et B(0,1). Les points M0(x0,y0) et M1(x1,y1) sont donnés. On construit le point P0 par les conditions : les droites (P0M0) et (Ox) sont parallèles ; P0∈(AB). On construit le point Q0 par les conditions : les droites (P0Q0) et (M1B) sont parallèles ; Q0∈(AM1). Soit le point M2(x2,y2) tel que le quadrilatère (M0P0Q0M2) soit un parallélogramme. On pose M2=M0∗M1.
Soit G un groupe. On définit le centre de G parZ(G)={a∈G,∀x∈G,ax=xa}i.e. l'ensemble des éléments de G qui commutent avec tous les éléments de G. Montrer que Z(G) est un sous-groupe de G.
Soit G un sous-groupe de (R,+). On suppose G non trivial i.e. G={0}.
Q1-Question préliminaire : soient α∈R+∗ et β∈R. Montrer qu'il existe n∈Z tel quenα≤β<(n+1)α.
Q2-Justifier que G∩R+∗ possède une borne inférieure que l'on notera a.
Q3-On suppose que a>0. a. On suppose que a∈/G. Justifier l'existence de deux éléments distincts x et y de G appartenant à l'intervalle ]a,2a[. b. Aboutir à une contradiction et en déduire que a∈G. c. En déduire que aZ⊂G. d. Soit z∈G. En utilisant la question 1, montrer qu'il existe n∈Z tel que z=na. e. En déduire que G=aZ.
Q4-On suppose que a=0. a. Soient t∈R et ε>0. En utilisant la question 1, montrer qu'il existe g∈G tel que ∣g−t∣<ε. b. En déduire que G est dense dans R.
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1. Soit α>0 et β∈R. L'ensemble {n∈Z,nα≤β} est non vide (par Archimède, il existe n0 avec n0α<β, en prenant n0 suffisamment négatif) et majoré (car nα≤β⟹n≤β/α). Comme c'est une partie non vide de Z majorée, elle admet un plus grand élément n. On a alors nα≤β et (n+1)α>β, soit nα≤β<(n+1)α.
2. Comme G={0}, il existe g∈G, g=0. Comme G est un sous-groupe de (R,+), −g∈G. Donc ∣g∣∈G∩R+∗, qui est non vide. Cet ensemble est minoré par 0, donc il admet une borne inférieure a≥0.
3. On suppose a>0.
3a. Supposons a∈/G. Comme a=inf(G∩R+∗) et a∈/G, il existe des éléments de G∩R+∗ arbitrairement proches de a. En particulier, il existe x,y∈G∩R+∗ distincts avec a<x<2a et a<y<2a.
3b. Supposons par exemple x>y (quitte à les échanger). Alors x−y∈G (car G est un sous-groupe) et 0<x−y<2a−a=a. Donc x−y∈G∩R+∗ et x−y<a, ce qui contredit a=inf(G∩R+∗). Donc a∈G.
3c. Comme a∈G et G est un sous-groupe, par récurrence na∈G pour tout n∈N, et −na∈G pour tout n∈N. Donc aZ⊂G.
3d. Soit z∈G. D'après la question 1, il existe n∈Z tel que na≤z<(n+1)a. Alors z−na∈G (car z,na∈G) et 0≤z−na<a. Si z−na>0, alors z−na∈G∩R+∗ avec z−na<a, contradiction avec a=inf(G∩R+∗). Donc z−na=0, soit z=na.
3e. On a montré que tout z∈G s'écrit z=na avec n∈Z, donc G⊂aZ. Avec aZ⊂G, on conclut G=aZ.
4. On suppose a=0.
4a. Soient t∈R et ε>0. Comme a=0=inf(G∩R+∗), il existe α∈G∩R+∗ avec 0<α<ε. D'après la question 1, il existe n∈Z tel que nα≤t<(n+1)α. Posons g=nα∈G. Alors ∣g−t∣=t−nα<α<ε.
4b. Ceci montre que pour tout t∈R et tout ε>0, il existe g∈G avec ∣g−t∣<ε. Donc G est dense dans R.
11.Produit des éléments d'ordre impair
Soit G un groupe abélien fini d'ordre impair. Calculer le produit des éléments de G.
Soient (G,∗) un groupe et H un ensemble. On suppose qu'il existe une bijection f de G sur H. On définit la loi . sur H de la manière suivante :∀(x,y)∈H2,x.y=f(f−1(x)∗f−1(y))Montrer que (H,.) est un groupe.
Soient (G,∗) un groupe et (H,.) un ensemble muni d'une loi interne. On suppose qu'il existe une surjection de G sur H vérifiant∀(x,y)∈G2,f(x∗y)=f(x).f(y)Montrer que (H,.) est un groupe. Que peut-on dire de f ?
Soient G un groupe et H un sous-groupe de G. On définit une relation binaire ∼ sur G par∀(x,y)∈G2,x∼y⟺∃h∈H,y=xhMontrer que ∼ est une relation d'équivalence.
Dans cette exercice, on pourra identifier le plan à C via un repère orthonormé. On pourra en particulier identifier une transformation du plan à une application de C dans C.
Q1-On note G l'ensemble des translations et des similitudes directes du plan. Montrer que G muni de la loi de composition est un groupe.
Q2-On note H l'ensemble des translations et des rotations du plan. Montrer que H est un sous-groupe de G.
On note Z[3] l'ensemble des réels de la forme a+b3 avec a,b∈Z.
Q1-Montrer que Z[3] est un sous-anneau de (R,+,×).
Q2-a. Montrer que 3 est irrationnel. On pourra raisonner par l'absurde en écrivant 3 sous la forme d'une fraction irréductible qp i.e. avec (p,q)∈Z×Z∗ tel que p∧q=1. b. Montrer que f:{Z2⟶Z[3](a,b)⟼a+b3 est un isomorphisme du groupe (Z2,+) sur le groupe (Z[3],+).
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1.Z[3] est un sous-anneau de R : 0,1∈Z[3], et si a+b3,c+d3∈Z[3], alors leur différence (a−c)+(b−d)3 et leur produit (ac+3bd)+(ad+bc)3 sont dans Z[3].
2a.3 est irrationnel. Supposons 3=p/q avec p∧q=1. Alors 3q2=p2, donc 3∣p2 et comme 3 est premier, 3∣p. Soit p=3p′, alors 3q2=9p′2, q2=3p′2, donc 3∣q. Contradiction avec p∧q=1.
2b.f:(a,b)↦a+b3 est un morphisme de groupes additifs (linéarité de +). Injectif : a+b3=0 et 3 irrationnel impliquent a=b=0. Surjectif par définition de Z[3]. Donc f est un isomorphisme.
3a.g:x=a+b3↦x~=a−b3 est un automorphisme d'anneau. Vérification : x+y=x~+y~ et xy=x~y~ (calcul direct), g(1)=1, g bijective (sa propre inverse).
3b.N(x)=xx~=(a+b3)(a−b3)=a2−3b2∈Z. Si x est inversible dans Z[3], N(x)N(x−1)=N(1)=1, donc N(x)=±1. Réciproquement, si N(x)=a2−3b2=±1, alors x⋅(±x~)=±N(x)=1, donc x est inversible. Les inversibles de Z[3] sont les a+b3 avec a2−3b2=±1.
Q2-Démontrer que la loi ∗ est associative, admet un élément neutre et que, si y0=0, le point M0 admet un inverse.
Q3-On définit une suite de points (Mn)n∈N par la donnée de M0, de M1 et de la relation de récurrence Mn=Mn−1∗Mn−2. Déterminer yn en fonction de y0 et de y1.
Q3-Montrer que φ:{G⟶Aut(G)a⟼φa est un morphisme de groupes.
Q3-Soit (x,y)∈A2. Montrer que si x et y sont nilpotents et commutent, alors x+y est nilpotent.
Q4-Soit x∈A. Montrer que si x est nilpotent, alors 1A−x est inversible et calculer son inverse.
Q3-Pour tout x∈Z[3], il existe donc un unique couple (a,b)∈Z2 tel que x=a+b3. a. Pour tout réel x=a+b3∈Z[3] avec (a,b)∈Z2, on appelle conjugué de x, noté x~, le réel a−b3. Montrer que g:{Z[3]⟶Z[3]x⟼x~ est un automorphisme d'anneau. b. Pour tout réel x=a+b3∈Z[3] avec (a,b)∈Z2, on pose N(x)=xx~. Vérifier que pour tout (x,y)∈(Z[3])2, N(xy)=N(x)N(y). c. Montrer que x∈Z[3] est inversible si et seulement si N(x)=1 ou N(x)=−1. Que vaut alors son inverse ? On distinguera les cas N(x)=1 et N(x)=−1.
