Exercices de Systèmes linéaires en maths Sup (prépa)

1. $Résolution par pivot de Gauss$

Résoudre le système linéaire suivant en utilisant la méthode du pivot de Gauss :

⎩ ⎨ ⎧ 2 x + y - z = 3 x - y + 2 z = 1 3 x + 2 y - z = 5

2. $Système linéaire selon a$

Discuter selon

a \in R

le système :

{x + y = 1 a x + y = a^{2}

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3. $Discussion selon λ$

Résoudre le système linéaire à paramètre suivant selon

λ \in R

⎩ ⎨ ⎧ x + y + z = 1 x + λ y + z = λ x + y + λ z = λ^{2}

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4. $Système homogène dans R^{4}$

On considère le système linéaire homogène :

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + x_{2} - x_{3} + x_{4} = 0 2 x_{1} + x_{2} - x_{4} = 0 x_{1} - x_{2} + 2 x_{3} - 3 x_{4} = 0

1. Résoudre ce système par pivot de Gauss.
2. Quelle est la dimension de l'espace des solutions ? Donner une base.

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5. $Résolution et structure affine$

Soit le système linéaire :

A X = B avec A = 121251130, B = 130

1. Résoudre le système

A X = B

par pivot de Gauss.
2. Résoudre le système homogène

A X = 0

.
3. En déduire la structure de l'ensemble des solutions de

A X = B

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6. $Condition de compatibilité$

Montrer que le système :

⎩ ⎨ ⎧ x + y + z = 1 2 x + 3 y - z = 4 x + 2 y - 2 z = a

admet une solution si et seulement si

a = 3

. Dans ce cas, résoudre complètement.

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7. $Système de Cramer$

On considère le système de Cramer :

⎩ ⎨ ⎧ x + 2 y + 3 z = 1 2 x + y + z = 2 x - y + 2 z = 0

1. Calculer le déterminant de la matrice

A

associée au système.
2. En déduire que le système admet une unique solution.
3. Résoudre par pivot de Gauss.

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8. $Théorème de superposition$

Théorème de structure : Soit

S

l'ensemble des solutions d'un système linéaire

A X = B

non homogène.

1. Rappeler le théorème de structure des solutions d'un système linéaire.
2. Application : le système

A X = B

a pour solution générale :

X = 10 - 1 + s 210 + t - 1 01, s, t \in R

Quelle est la dimension de

ker A

? Quelle est la dimension de

Im (A)

A \in M_{3, 3} (R)

?
3. Montrer que si

X_{0}

est solution de

A X = B

Y_{0}

est solution de

A X = B^{'}

, alors

X_{0} + Y_{0}

est solution de

A X = B + B^{'}

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9. $Second membre paramétrique$

On souhaite résoudre le système avec second membre paramétrique :

⎩ ⎨ ⎧ x + 2 y - z = a 2 x - y + 3 z = b x - 3 y + 4 z = c

1. Appliquer le pivot de Gauss pour réduire le système.
2. Déterminer les conditions sur

(a, b, c)

pour que le système soit compatible.
3. Lorsqu'il est compatible, donner la solution générale.

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10. $Interpolation de Vandermonde$

Soit

n \geq 2

un entier. On considère le système de Vandermonde : trouver les coefficients

a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n - 1} \in R

tels que pour

n

points distincts

x_{0}, x_{1}, \dots, x_{n - 1} \in R

n

valeurs

y_{0}, \dots, y_{n - 1} \in R

k = 0 \sum n - 1 a_{k} x_{i}^{k} = y_{i} \forall i \in {0, \dots, n - 1}

1. Écrire ce système sous forme matricielle

V A = Y

où

V

est la matrice de Vandermonde.
2. Pour

n = 3

x_{0} = 0

x_{1} = 1

x_{2} = 2

y_{0} = 1

y_{1} = 0

y_{2} = 3

, résoudre le système.
3. Que représente géométriquement la solution

(a_{0}, a_{1}, a_{2})

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1. Système matriciel :

Le système s'écrit

V a = y

avec :

V = 11 ⋮ 1 x_{0} x_{1} x_{n - 1} x_{0}^{2} x_{1}^{2} \dots \dots \dots x_{0}^{n - 1} x_{1}^{n - 1} ⋮ x_{n - 1}^{n - 1}, a = a_{0} a_{1} ⋮ a_{n - 1}, y = y_{0} y_{1} ⋮ y_{n - 1}

V

s'appelle la matrice de Vandermonde associée aux

x_{i}

.

2. Résolution pour $n = 3$ , $x_{0} = 0, x_{1} = 1, x_{2} = 2$ , $y_{0} = 1, y_{1} = 0, y_{2} = 3$ :

V = 111012014, y = 103

Tableau augmenté, pivot de Gauss :

L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{1}

L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1}

100012014 ∣ ∣ ∣ 1 - 1 2

L_{3} \leftarrow L_{3} - 2 L_{2}

100010012 ∣ ∣ ∣ 1 - 1 4

a_{2} = 2

a_{1} = - 1 - 2 = - 3

a_{0} = 1

.

Solution :

(a_{0}, a_{1}, a_{2}) = (1, - 3, 2)

.

3. Interprétation géométrique :

Le polynôme

P (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} = 1 - 3 x + 2 x^{2}

est le polynôme d'interpolation passant par les trois points

(0, 1)

(1, 0)

(2, 3)

. Le triplet

(a_{0}, a_{1}, a_{2})

représente les coefficients du polynôme de degré au plus 2 interpolant ces données.

1.Résolution par pivot de Gauss

2.Système linéaire selon a

3.Discussion selon λ

4.Système homogène dans R4

5.Résolution et structure affine

6.Condition de compatibilité

7.Système de Cramer

8.Théorème de superposition

9.Second membre paramétrique

10.Interpolation de Vandermonde

1. $Résolution par pivot de Gauss$

2. $Système linéaire selon a$

3. $Discussion selon λ$

4. $Système homogène dans R^{4}$

5. $Résolution et structure affine$

6. $Condition de compatibilité$

7. $Système de Cramer$

8. $Théorème de superposition$

9. $Second membre paramétrique$

10. $Interpolation de Vandermonde$