Exercices de Trigonométrie, Sup (prépa)

1. $\sin (x)+\sin (5x)=2\sin (3x)\cos (2x)$. L'équation devient $2\sin (3x)\cos (2x)=\sqrt{3}\cos (2x)$, soit $\cos (2x)(2\sin (3x)-\sqrt{3})=0$.
- $\cos (2x)=0$ : $x=\pi /4+k\pi /2$.
- $\sin (3x)=\sqrt{3}/2$ : $3x=\pi /3+2k\pi$ ou $3x=2\pi /3+2k\pi$, soit $x=\pi /9+2k\pi /3$ ou $x=2\pi /9+2k\pi /3$.

2. $\cos (x)-\cos (2x)=\sin (3x)$. $\cos (x)-\cos (2x)=-2\sin (3x/2)\sin (-x/2)=2\sin (3x/2)\sin (x/2)$. Et $\sin (3x)=2\sin (3x/2)\cos (3x/2)$. Donc $2\sin (3x/2)[\sin (x/2)-\cos (3x/2)]=0$.
- $\sin (3x/2)=0$ : $x=2k\pi /3$.
- $\sin (x/2)=\cos (3x/2)=\sin (\pi /2-3x/2)$ : $x/2=\pi /2-3x/2+2k\pi$ soit $2x=\pi /2+2k\pi$, $x=\pi /4+k\pi$; ou $x/2=\pi -\pi /2+3x/2+2k\pi$ soit $-x=\pi /2+2k\pi$, $x=-\pi /2+2k\pi$.

3. $2{\sin }^2(x)+{\sin }^2(2x)=2$. ${\sin }^2(2x)=4{\sin }^2(x){\cos }^2(x)$. Posons $s={\sin }^2(x)$ : $2s+4s(1-s)=2$, $2s+4s-4s^2=2$, $-4s^2+6s-2=0$, $4s^2-6s+2=0$, $s=\frac{6\pm \sqrt{36-32}}{8}=\frac{6\pm 2}{8}$. Donc $s=1$ ou $s=1/2$. ${\sin }^2(x)=1$ : $x=\pi /2+k\pi$. ${\sin }^2(x)=1/2$ : $x=\pi /4+k\pi /2$.

4. $\cos (x)+\cos (2x)+\cos (3x)=0$. $\cos (x)+\cos (3x)=2\cos (2x)\cos (x)$. Donc $\cos (2x)(2\cos (x)+1)=0$. $\cos (2x)=0$ : $x=\pi /4+k\pi /2$. $\cos (x)=-1/2$ : $x=\pm 2\pi /3+2k\pi$.

5. $\sin (2x)+\sin (x)=0$, soit $2\sin (x)\cos (x)+\sin (x)=\sin (x)(2\cos (x)+1)=0$. $\sin (x)=0$ : $x=k\pi$. $\cos (x)=-1/2$ : $x=\pm 2\pi /3+2k\pi$.

6. $12{\cos }^2(x)-8{\sin }^2(x)=2$. $8{\sin }^2(x)=8(1-{\cos }^2(x))$, donc $12{\cos }^2(x)-8+8{\cos }^2(x)=2$, $20{\cos }^2(x)=10$, ${\cos }^2(x)=1/2$, $\cos (x)=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$, soit $x=\pi /4+k\pi /2$.

On résout $\sin (5x)\le \sin (x)$, soit $\sin (5x)-\sin (x)\le 0$.$$\sin (5x)-\sin (x)=2\cos (3x)\sin (2x).$$L'inégalité est donc $2\cos (3x)\sin (2x)\le 0$.

Les zéros : $\cos (3x)=0$ pour $x=\frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{3}$, et $\sin (2x)=0$ pour $x=k\frac{\pi }{2}$. Le produit $\cos (3x)\sin (2x)$ est $\pi$-périodique. On étudie le signe sur $[0,\pi ]$ :

- Sur $[0,\frac{\pi }{6}]$ : $\cos (3x)\ge 0$ et $\sin (2x)\ge 0$, produit $\ge 0$ : l'inégalité n'est pas satisfaite (sauf aux bornes).
- Sur $[\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2}]$ : $\cos (3x)\le 0$ et $\sin (2x)\ge 0$ (car $2x\in [\frac{\pi }{3},\pi ]$), produit $\le 0$ : satisfait.
- Sur $[\frac{\pi }{2},\frac{2\pi }{3}]$ : $\cos (3x)\le 0$ (car $3x\in [\frac{3\pi }{2},2\pi ]$) et $\sin (2x)\le 0$ (car $2x\in [\pi ,\frac{4\pi }{3}]$), produit $\ge 0$ : non satisfait.
- Sur $[\frac{2\pi }{3},\pi ]$ : $\cos (3x)\ge 0$ (car $3x\in [2\pi ,3\pi ]$, donc $\cos (3x)$ reprend des valeurs positives sur $[2\pi ,\frac{5\pi }{2}]$) et $\sin (2x)\le 0$ (car $2x\in [\frac{4\pi }{3},2\pi ]$), produit $\le 0$ : satisfait.

Solution sur $[0,\pi ]$ : $\left[\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2}\right]\cup \left[\frac{2\pi }{3},\pi \right]$.

Par $\pi$-périodicité :$$\mathcal{S}=\bigcup _{k\in \mathbb{Z}}\left[\frac{\pi }{6}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi \right]\cup \left[\frac{2\pi }{3}+k\pi ,(k+1)\pi \right].$$