Décroissance radioactive

A la date $t$, un échantillon de noyaux radioactifs contient $N(t)$ noyaux non désintégrés.

A la date $t+\Delta t$, la population de noyaux a diminué, l'échantillon contient $N(t+\Delta t)$ noyaux non désintégrés.

La variation du nombre de noyaux $\Delta N(t)$ pendant la durée $\Delta t$ vaut : $\Delta N(t) = N(t+\Delta t) - N(t) < 0$

Le nombre de désintégrations produites pendant cette durée est donc $-\Delta N(t)$, il est proportionnel au nombre de noyaux de l'échantillon $N(t)$ et à la durée de comptage $\Delta t$ : $-\Delta N(t) = \lambda \times N(t) \times \Delta t$ avec $\lambda$ la constante radioactive (en $\text{s}^{-1}$ , $\text{min}^{-1}$ ...) qui dépend du noyau radioactif étudié.

Cette constante radioactive correspond à la probabilité de désintégration d'un noyau donné par unité de temps.

On peut donc écrire : $\dfrac{\Delta N(t)}{\Delta t} + \lambda \times N(t) = 0$.

Or lorsque $\Delta t$ tend vers $0$, $\displaystyle\lim_{\Delta t \to 0}\left(\dfrac{\Delta N(t)}{\Delta t}\right) = \displaystyle\lim_{\Delta t \to 0}\left(\dfrac{N(t+\Delta t) - N(t)}{\Delta t}\right) = \dfrac{dN(t)}{dt}$ (définition de la dérivée).

On obtient alors l'équation différentielle suivante :
$$\dfrac{dN(t)}{dt} + \lambda \times N(t) = 0 \quad \text{avec } \tau = \dfrac{1}{\lambda}$$

• Solution homogène : $N_h(t) = A e^{-\frac{1}{\tau} \times t} \iff N_h(t) = A e^{-\lambda \times t}$
• Solution particulière : La solution particulière est de même nature que le second membre de l'équation différentielle donc $N_p(t) = 0$
• Solution générale : $N(t) = N_h(t) + N_p(t) = A e^{-\lambda \times t}$
• Condition initiale : À $t=0\ \text{s}$, $N(t=0\ \text{s}) = N_0 \iff N(t=0) = A e^{-\lambda \times 0} = N_0 \iff A = N_0$

On a donc $N(t) = N_0 e^{-\lambda \times t}$.

• Méthode 1 : Tangente à la courbe à $t=0\ \text{s}$ \\ La tangente à la courbe à $t=0\ \text{s}$ coupe l'asymptote horizontale de $N(t)$ pour $t = \tau$.
• Méthode 2 : Résoudre $N(t=\tau)$ \\ $N(\tau) = N_0 \exp\left(-\frac{1}{\tau} \times \tau\right)$ \\ $N(\tau) = N_0 \exp(-1) \approx 0,37 N_0$

On peut considérer que la désintégration de la population de noyaux radioactifs est terminée au bout de $5\tau$ ou $7t_{1/2}$ car il reste moins de $1\%$ de noyaux non désintégrés.
$$N(5\tau) = N_0 \exp\left(-\frac{1}{\tau} \times 5\tau\right) \iff N(5\tau) = N_0 \exp(-5)$$
D'où $N(5\tau) \approx 0,0067 N_0$ (soit $0,67\%$ de $N_0$).