THE MATHS TAILOR

Arithmétique des entiers relatifs | The Maths Tailor

Arithmétique des entiers relatifs

Cours

0Introduction

1Division dans

Z

Contenu réservé aux abonnés

2Diviseurs et multiples communs

Contenu réservé aux abonnés

3Nombres premiers

Contenu réservé aux abonnés

4Compléments

Contenu réservé aux abonnés

Méthodes9

ClassiqueRésoudre une équation diophantienne non linéaire par factorisation-diviseurs

Pour résoudre une équation diophantienne non linéaire dans $Z$ ou $Z^{2}$ :

Réécrire l'expression pour faire apparaître un produit égal à une constante $k$ . Techniques courantes : complétion ( $(x - a) (y - b) = k$ ), division euclidienne ( $a ∣ f (x) \Leftrightarrow \frac{f ( x )}{a} \in Z$ ), mise au même dénominateur.
Lister tous les couples de diviseurs $(d_{1}, d_{2})$ de $k$ tels que $d_{1} \cdot d_{2} = k$ , sans oublier les diviseurs négatifs.
Pour chaque couple, résoudre le système linéaire associé.
Vérifier les conditions de validité : intégralité, parité, positivité selon le contexte.
Conclure avec l'ensemble des solutions $S$ .

ClassiqueRéduction au cas copremier

Méthode complète avec le plan Élève

Voir les offres

ClassiqueTransporter l'algorithme d'Euclide aux indices d'une suite

Méthode complète avec le plan Élève

Voir les offres

ClassiqueIrrationalité ou intégralité par écriture irréductible et Gauss

Méthode complète avec le plan Élève

Voir les offres

ClassiqueCalculer le reste de

a^{n}

dans la division par

k

Méthode complète avec le plan Élève

Voir les offres

ClassiqueDémontrer qu'un entier dépendant d'un paramètre est divisible par un petit entier

Méthode complète avec le plan Élève

Voir les offres

PavlovCalculer le pgcd de deux entiers a et b

Méthode complète avec le plan Élève

Voir les offres

ClassiqueFactoriser

a^{n} \pm 1

pour

n

composé

Méthode complète avec le plan Élève

Voir les offres

TunnelRésoudre une équation de Bézout ax+by=c

Méthode complète avec le plan Élève

Voir les offres

Exercices

Diophantiennes dans Z

Résoudre dans

Z

les équations suivantes :

$x - 1 ∣ x + 3$
$x + 2 ∣ x^{2} + 2$

Indication

Diophantiennes dans Z^{2}

Résoudre dans

Z^{2}

les équations suivantes :

$x y = 3 x + 2 y$
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{5}$
$x^{2} - y^{2} - 4 x - 2 y = 5$

Indication

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1

Résoudre dans

(N^{*})^{3}

l'équation

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1

Indication

5 x^{2} + 2 x y - 3 = 0 dans Z^{2}

Résoudre dans

Z^{2}

l'équation

5 x^{2} + 2 x y - 3 = 0

Indication

Centrale MP 2012

Résoudre dans

N^{2}

l'équation

n (n + 1) (n + 2) = m^{2}

Indication

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c}

On se propose de résoudre l'équation

(E) : \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c}

d'inconnue

(a, b, c) \in (N^{*})^{3}

Soit $(a, b, c) \in (N^{*})^{3}$ vérifiant $(E)$ . On suppose $a, b, c$ premiers entre eux dans leur ensemble. On pose $α = a - c$ et $β = b - c$ . Montrer que $α$ , $β$ , $c$ sont premiers entre eux dans leur ensemble puis que $α$ et $β$ sont premiers entre eux. En déduire que $α$ et $β$ sont des carrés d'entiers, puis qu'il existe $(u, v) \in (N^{*})^{2}$ tel que $a = (u + v) u$ , $b = (u + v) v$ et $c = uv$ .
Résoudre $(E)$ .

Indication

2^{n} + 1 = m^{3} dans N^{2}

Résoudre l'équation

2^{n} + 1 = m^{3}

d'inconnue

(n, m) \in N^{2}

Indication

n + 1 divise n^{2} + 1

Déterminer tous les entiers

n \in N

tels que

n + 1

divise

n^{2} + 1

Indication

Mines-Ponts MP 2007

Nombres de Fibonacci

Divisibilité par récurrence modulo

Équations diophantiennes