Continuité des fonctions (Maths Complémentaires)

1Notion de continuité

1. Notion de continuité

1.1. Définition

Encadré —Définition intuitive

Une fonction est continue sur un intervalle si sa courbe représentative peut se tracer sans lever le crayon.

Proposition —Continuité en un point et sur un intervalle

Soit

f

définie sur un intervalle

I

contenant un réel

a

.
-

f

est continue en $a$ si :

\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

.
-

f

est continue sur $I$ si

f

est continue en tout point de

I

.

Démonstration bientôt disponible

Théorème —Dérivabilité implique continuité

Si une fonction est dérivable sur un intervalle

I

, alors elle est continue sur

I

.

*(Admis)*

Démonstration bientôt disponible

Méthode —Reconnaître graphiquement une fonction continue

Exemple : Étudier la continuité des fonctions

f

et

g

sur

[-2\,;\,2]

.

- La courbe de

f

peut se tracer sans lever le crayon :

f

semble continue sur

[-2\,;\,2]

.
- La courbe de

g

ne peut pas se tracer sans lever le crayon :

g

n'est pas continue sur

[-2\,;\,2]

. Elle semble cependant continue sur

[-2\,;\,1]

et sur

]1\,;\,2]

.

1.2. Fonctions de référence et opérations

Encadré —Fonctions continues de référence

Les fonctions suivantes sont continues sur l'intervalle indiqué :

| Fonction | Intervalle |
|----------|------------|
|

|x|

|

\mathbb{R}

|
|

x^n

(

n \in \mathbb{N}

) |

\mathbb{R}

|
| Polynôme |

\mathbb{R}

|
|

e^x

|

\mathbb{R}

|
|

\sqrt{x}

|

[0\,;\,+\infty[

|
|

\dfrac{1}{x}

|

]-\infty\,;\,0[

et

]0\,;\,+\infty[

|
|

\sin x

|

\mathbb{R}

|
|

\cos x

|

\mathbb{R}

|

Proposition —Opérations sur les fonctions continues

Si

f

et

g

sont continues sur

I

, alors :
-

f + g

,

f \times g

,

f^n

(

n \in \mathbb{N}

) et

e^f

sont continues sur

I

.
- Si

g

ne s'annule pas sur

I

, alors

\dfrac{f}{g}

est continue sur

I

.
- Si

f

est positive sur

I

, alors

\sqrt{f}

est continue sur

I

.

Remarque : Dans un tableau de variations, les flèches obliques traduisent la continuité et la stricte monotonie de la fonction.

Démonstration bientôt disponible

Méthode —Étudier la continuité d'une fonction définie par morceaux

Exemple : Soit

f

définie sur

\mathbb{R}

par :

f(x) = \begin{cases} -x + 2 & \text{si } x < 3 \\ x - 4 & \text{si } 3 \leq x < 5 \\ -2x + 13 & \text{si } x \geq 5 \end{cases}

Chaque morceau est un polynôme, donc continu sur

\mathbb{R}

. On étudie la continuité aux raccords :

En $x = 3$ :

\lim_{x \to 3^-} f(x) = -3 + 2 = -1 \qquad \lim_{x \to 3^+} f(x) = 3 - 4 = -1 = f(3)

Donc

f

est continue en $3$ .

En $x = 5$ :

\lim_{x \to 5^-} f(x) = 5 - 4 = 1 \qquad \lim_{x \to 5^+} f(x) = -10 + 13 = 3

Les limites à gauche et à droite sont différentes :

f

n'est pas continue en $5$ .

Conclusion :

f

est continue sur

]-\infty\,;\,5[

et sur

[5\,;\,+\infty[

.

2Théorème des valeurs intermédiaires

3Application à l'étude de suites