Continuité des fonctions

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ contenant un réel $a$. Par définition, $f$ est continue en $a$ si $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)$ : la limite de $f$ en $a$ existe et coïncide avec la valeur prise par $f$ en $a$. La fonction $f$ est continue sur $I$ si elle est continue en chaque point de $I$ ; graphiquement, sa courbe se trace alors sans lever le crayon.

Pour étudier la continuité de $f$ en $a$ :
1. Vérifier que $a$ appartient au domaine de $f$ et calculer $f(a)$.
2. Calculer $\underset{x\to a}{\lim }f(x)$, en distinguant si besoin la limite à gauche $\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)$ et la limite à droite $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)$.
3. Comparer cette limite à $f(a)$ : si les deux coïncident, $f$ est continue en $a$ ; si les limites à gauche et à droite diffèrent entre elles, ou diffèrent de $f(a)$, $f$ n'est pas continue en $a$.